[논문 리뷰] Two-dimensional Anomaly, Orbifolding, and Boundary States

Ken Kikuchi, Yang Zhou|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 08.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 43인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 토러스 위에 대칭선을 삽입하여 분석함으로써, 이중 차원 유리 보존장이론(RCFTs)에서의 비정상성, 오르비폴딩의 장애, 경계 상태의 불변성 간의 연결 고리를 설정한다. 비아교성의 대칭선을 통해 $G$-대칭의 전역 비정상성을 탐지하는 기준을 제안하며, 이는 Wess-Zumino-Witten 모델에서 비정상성 없음, 오르비폴딩 가능성, $G$-불변 경계 상태의 존재와 동치임을 보여준다.

ABSTRACT

We study anomalies of discrete internal global symmetry $G$ in two-dimensional rational conformal field theories based on twisted torus partition functions. The anomaly of $G$ can be seen from the noncommutativity of two symmetry lines inserted along the nontrivial cycles of two-torus and we propose a criterion to detect the anomaly, which agrees with the truncated modular $S$-matrix approach. The obstruction for orbifolding has been recently interpreted as a mixed anomaly between $G$ and large diffeomorphisms. We clarify the relations among anomaly-free conditions, orbifoldable conditions, and invariant boundary state condition, focusing on Wess-Zumino-Witten models.

연구 동기 및 목표

• 2D RCFTs에서의 전역 대칭 비정상성, 오르비폴딩 가능성, 불변 경계 상태 간의 상호작용을 명확히 하기 위해.
• 비틀린 토러스 분할 함수를 사용하여 이산 전역 대칭에서의 비정상성을 기하학적 및 대수적 기준으로 탐지하기 위해.
• 비정상성 조건이 WZW 모델에서 오르비폴딩 가능성 및 불변 경계 상태 존재 조건과 정확히 일치함을 보여주기 위해.
• 모듈러 $S$-행렬과 이차형식을 통해 비정상성, 오르비폴딩 장애, 경계 상태 불변성의 개념을 통합하기 위해.

제안 방법

• 비아교성의 대칭선을 토러스의 비자명한 사이클에 삽입하여 비정상성을 탐지한다.
• 비정상성 기준을 확인하기 위해 잘라낸 모듈러 $S$-행렬 접근법을 적용한다.
• 아핀 리 대수학에서 유도된 이차형식을 사용하여 비정상성 없음 조건의 위상 조건을 계산한다.
• $D_{2l}$ 및 $D_{2l+1}$ 유형의 WZW 모델에서 비정상성 없음을 보장하기 위해 $k \in 2\mathbb{Z}$ 조건을 유도한다.
• $Ch$-불변 경계 상태의 존재와 오르비폴딩에서의 $T$-변환의 일관성 간의 동치성을 수립한다.
• 군 작용 하에서 불변 경계 상태를 구성하기 위해 주요 무게 $P^k_+$ 에서의 명시적 계산을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2D RCFTs에서 이산 전역 대칭의 비정상성은 토러스 위의 위상 결함선을 통해 어떻게 탐지할 수 있는가?
• RQ2 WZW 모델에서 비정상성 없음, 오르비폴딩 가능성, 불변 경계 상태 존재 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 $D_{2l}$ 및 $D_{2l+1}$ 유형 모델에서 비정상성 없음과 경계 상태 불변성에 필수적인 조건 $k \in 2\mathbb{Z}$ 는 왜 발생하는가?
• RQ4 토러스 위의 대칭선 비아교성이 3D 초전도체 이론에서의 연결 정보를 어떻게 동일하게 코딩하는가?
• RQ5 $Ch$-불변 경계 상태의 존재는 오르비폴딩에서의 $T$-변환 일관성과 동치인가?

주요 결과

• 2D RCFTs에서 이산 전역 대칭 $G$ 의 비정상성은 토러스의 두 사이클을 따라 $G$-대칭선의 비아교성으로 탐지된다.
• 제안된 비정상성 기준은 잘라낸 모듈러 $S$-행렬 접근법과 정확히 일치하여 기존 방법과의 일관성을 확인한다.
• $D_{2l}$ 및 $D_{2l+1}$ 유형의 WZW 모델에서 조건 $k \in 2\mathbb{Z}$ 는 비정상성 없음과 $G$-불변 경계 상태 존재를 모두 보장한다.
• $D_{2l}$ 모델에서 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ 작용에 의한 오르비폴딩 가능성에 대해 $k \in 2\mathbb{Z}$ 조건은 필수적이고 충분한 조건이다.
• $k=2$ 에서 명시적인 불변 경계 상태를 $D_{2l}$ 모델에서 $\hat{\mu}_{\text{I.B.}}^{(2)} = [0;0,1,0,\dots,0,1,0,0]$ 로 구성하였다.
• $Ch$-불변 경계 상태의 존재는 $D_{2l}$ 모델에서 $H = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ 일 때 오르비폴딩에서의 $T$-변환 일관성과 동치이다.