[논문 리뷰] Two-dimensional families of hyperelliptic jacobians with big monodromy

Yuri G. Zarhin|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 24.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특성 ≠ 2인 전역체 위에서 큰 단형과 비자명한 내적을 갖지 않는 양면형 초타원형 jacobian의 명시적 두차원 가중치를 구성한다. 다항식 $ f(x) = (x - t_1)(x - t_2)u(x) $ 가 갈루아 군 $ \mathbf{S}_{2g} $ 또는 $ \mathbf{A}_{2g} $ 를 가지도록 서로 다른 매개변수 $ t_1, t_2 \in K $ 를 선택함으로써, jacobian $ J(C_f) $ 는 $ \ell $-진 테이트 모듈러스 위에서 최대 갈루아 이미지를 가지며, 자명한 내적을 가지게 되어 큰 단형과 단순성을 보장한다.

ABSTRACT

Let $K$ be a global field of characteristic different from 2 and $u(x)\in K[x]$ be an irreducible polynomial of even degree $2g\ge 6$, whose Galois group over $K$ is either the full symmetric group $S_{2g}$ or the alternating group $A_{2g}$. We describe explicitly how to choose (infinitely many) pairs of distinct elements $t_1, t_2$ of $K$ such that the $g$-dimensional jacobian of a hyperelliptic curve $y^2=(x-t_1)(x-t_2))u(x)$ has no nontrivial endomorphisms over an algebraic closure of $K$ and has big $\ell$-adic monodromy.

연구 동기 및 목표

• 특성 ≠ 2인 전역체 위에서 큰 단형과 비자명한 내적이 없는 초타원형 jacobian의 명시적 두차원 가중치를 구성하는 것.
• 다항식 $ y^2 = (x - t_1)(x - t_2)u(x) $ 의 jacobian 이 자명한 내적을 가지며 $ \ell $-진 테이트 모듈러스 위에서 최대 갈루아 이미지를 가지도록 하는 매개변수 $ t_1, t_2 \in K $ 의 조건을 규명하는 것.
• 이러한 jacobian 이 상호간에 비이sov레인지임을 증명하고, 모든 차원에서 타이트 추측과 호지 추측을 만족시킴을 보이는 것.
• jacobian 의 자기동형사상군이 정확히 $ \{ \pm 1 \} 임을 확립하여, 초타원형 호환사상 이외의 비자명한 자기동형사상이 존재하지 않음을 제거하는 것.

제안 방법

• 다항식 $ f(x) = (x - t_1)(x - t_2)u(x) $ 를 갖는 초타원형 곡선 $ C_f: y^2 = f(x) $ 를 구성하며, 여기서 $ u(x) $ 는 갈루아 군이 $ \mathbf{S}_{2g} $ 또는 $ \mathbf{A}_{2g} $ 인 $ 2g \geq 6 $ 차수의 기약다항식이다.
• 갈루아 이론적 추론을 통해, 임의의 $ \bar{K} $-동형사상이 분수라인어 변환 $ \mathrm{PGL}_2(\bar{K}) $ 를 통해 분지점들을 보존하는 것으로 유도됨을 보인다.
• 힐베르트의 정리 90 을 적용하여, 이러한 변환이 $ K $ 에 정의되어 있지 않다면 jacobian 에 대한 비자명한 자기동형사상이 존재하게 되며, 이는 $ \mathrm{End}(J(C_f)) $ 의 자명성과 모순됨을 보인다.
• jacobian 의 유일한 자기동형사상은 $ \pm 1 $ 임을 증명하여, 이는 변환이 근의 집합을 전치시키고 그 위에서 자명하게 작용해야만 비자명한 자기동형사상이 존재할 수 있음을 의미한다.
• 토리텔리 정리를 적용하여, jacobian 의 동형사상은 분지점 위의 $ \mathrm{PGL}_2 $-작용을 통한 초타원형 곡선의 동형사상으로 환원된다.
• ℓ- torsion 점들 위의 갈루아 작용을 분석하고, 갈루아 표현의 이미지가 심플렉틱 스미티튜드 군 안에서 열려 있음을 보여, 큰 단형을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수 $ t_1, t_2 \in K $ 가 어떤 조건을 만족할 경우, $ y^2 = (x - t_1)(x - t_2)u(x) $ 의 jacobian 이 자명한 내적을 가지며 단순한가?
• RQ2 이러한 jacobian 의 $ \ell $-진 테이트 모듈러스 위 갈루아 표현이 큰 단형을 가지는가?
• RQ3 서로 다른 $ t_1, t_2 $ 의 선택이 자명한 내적과 큰 단형을 갖는 비동형 jacobian 을 유도하는가?
• RQ4 자명한 $ \mathrm{End}(J(C_f)) $ 가 이러한 jacobian 간의 $ \bar{K} $-동형사상 존재에 어떤 제약을 끼치는가?
• RQ5 자기곱들의 타이트 추측과 호지 추측은 어느 정도까지 이러한 jacobian 의 자기곱들에 대해 성립하는가?

주요 결과

• 서로 다른 $ t_1 \neq t_2 $ 인 무한히 많은 쌍 $ (t_1, t_2) \in K \times K $ 에 대해, $ y^2 = (x - t_1)(x - t_2)u(x) $ 의 jacobian $ J(C_f) $ 는 자명한 내적을 가지며 $ \mathrm{End}(J(C_f)) = \mathbb{Z} $ 이다.
• jacobian 의 $ \ell $-진 테이트 모듈러스 위 갈루아 표현의 이미지는 심플렉틱 스미티튜드 군 안에서 열려 있으며, 이는 큰 단형을 의미한다.
• $ J(C_f) $ 에는 비자명한 $ \bar{K} $-자기동형사상이 존재하지 않으며, 따라서 $ \mathrm{Aut}(J(C_f)) = \{ \pm 1 \} $ 이다.
• 서로 다른 쌍 $ (t_1, t_2) $ 에 대응하는 jacobian 은 $ \bar{K} $ 위에서 서로 비동형이며, 이는 분지점을 보존하는 $ \mathrm{PGL}_2(K) $-사상이 존재하지 않기 때문이다.
• 타이트 추측은 모든 자기곱 $ J(C_f)^m $ 에 대해 모든 차원에서 성립하며, 모든 타이트 클래스가 딜로르 클래스의 선형조합이기 때문이다.
• 특성 0 이며 복소수 포함이 존재하는 경우, 모든 자기곱 $ J(C_f)^m $ 에 대해 모든 차원에서 호지 추측이 성립한다.