[논문 리뷰] Two-Loop Superstrings II, The Chiral Measure on Moduli Space

Eric D’Hoker, D. H. Phong|ArXiv.org|2001. 10. 30.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 83인용 수 85

한 줄 요약

이 논문은 초모듈리 공간 위에서의 초모듈리 통합에서 오랫동안 남아 있던 모순을 해결함으로써, 명확하고 게이지 불변인 두 루프 초스트링 칼라 측도를 기본 원리로부터 유도한다. 새로운 투영 형식을 통해 무한소 게이지 슬라이스 변화에 대해 독립성을 확립하고, 초등각 3/2-형식, 스트레스 텐서 변형, 그리고 새로운 '슬라이스 $\upsilon$' 선택을 통합함으로써, 총 미분의 모호성 없이 모듈러 불변인 공식을 도출한다.

ABSTRACT

A detailed derivation from first principles is given for the unambiguous and slice-independent formula for the two-loop superstring chiral measure which was announced in the first paper of this series. Supergeometries are projected onto their super period matrices, and the integration over odd supermoduli is performed by integrating over the fibers of this projection. The subtleties associated with this procedure are identified. They require the inclusion of some new finite-dimensional Jacobian superdeterminants, a deformation of the worldsheet correlation functions using the stress tensor, and perhaps paradoxically, another additional gauge choice, ``slice \hatμchoice'', whose independence also has to be established. This is done using an important correspondence between superholomorphic notions with respect to a supergeometry and holomorphic notions with respect to its super period matrix. Altogether, the subtleties produce precisely the corrective terms which restore the independence of the resulting gauge-fixed formula under infinitesimal changes of gauge-slice. This independence is a key criterion for any gauge-fixed formula and hence is verified in detail.

연구 동기 및 목표

• 초모듈리 공간에서의 모듈리 공간으로의 투영이 잘 정의되어 있지 않아 발생하는, 두 루프 초스트링 산란 진폭에서의 게이지 슬라이스 의존성 문제를 해결하기 위해.
• 총 미분의 모호성이 이전 접근법에서 문제를 일으키는 바, 종속되지 않은 두 성분의 칼라 측도에 대해 일관되고 명확한 공식을 수립하기 위해.
• 칼라 측도가 무한소 게이지 슬라이스 변화에 대해 불변임을 입증함으로써 초스트링 이론에서 물리적 일관성에 필수적인 조건을 충족시키기 위해.
• 초주기 행렬, 초등각 미분형식, 유한 차원의 자코비안 초행렬식을 포함하는 체계적인 게이지 고정 절차를 개발하기 위해.
• 스트레스 텐서 변형 및 추가 게이지 선택과 같은 미세한 요소들에서 유래하는 수정 항들이 정확히 상쇄되어 게이지 의존성이 제거되고 불변성이 복원됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 초기하학을 초주기 행렬에 투영하고, 이 투영에 대해 올려진 올림으로서의 적분을 통해 기저의 초모듈리스를 통합한다.
• 모호성을 해결하기 위해 새로운 '슬라이스 $\upsilon$' 선택을 도입하고, 이 선택이 무한소 게이지 변환에 대해 독립적임을 증명한다.
• 초등각 3/2-형식과 초주기 행렬 변화 간의 이중성을 이용하여, 벡터장 $d\hat{\Omega}_{IJ}$ 와 $d\zeta^{\alpha}$ 를 정의한다.
• 초베르트라미 미분형식과 초주기 행렬 변화 간의 관계를 기술하는 변형 공식 $\delta\hat{\Omega}_{IJ} = -\frac{i}{2}\int d^{2|2}{\bf z} H(\hat{\omega}_I{\cal D}_+\hat{\omega}_J + \hat{\omega}_J{\cal D}_+\hat{\omega}_I)$ 을 적용한다.
• 스트레스 텐서를 사용해 상관 함수를 변형함으로써, 게이지 고정된 측도의 일관성을 확보한다.
• 중력편미분의 변화와 주기 행렬 변화 간의 연결 고리를 제공하기 위해 $[\mu_\alpha]$ 의 명시적 표현을 유도한다: $\langle\mu_\alpha|\omega_I\omega_J\rangle = \frac{1}{8\pi}\int d^2zd^2w \chi_{\alpha\bar{z}}^+ S_\delta(z,w) \chi_{\bar{w}}^+ (\omega_J(z)\omega_I(w) + \omega_I(z)\omega_J(w))$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 루프 초스트링 이론에서 칼라 측도가 게이지 슬라이스 선택에 독립적이게 만들 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 초스트링 진폭에서 총 미분의 모호성의 근본 원인은 무엇이며, 어떻게 체계적으로 제거할 수 있는가?
• RQ3 초등각 3/2-형식과 초주기 행렬 변화는 게이지 고정 절차와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 초주기 행렬, 초등각 미분형식, 유한 차원의 자코비안 초행렬식을 포함하는 일관된 게이지 고정 절차를 구성할 수 있는가?
• RQ5 제안된 칼라 측도가 무한소 변화에 대해 게이지 슬라이스 $\chi_{\bar{z}}^+ = \sum_\alpha \zeta^\alpha (\chi_\alpha)_{\bar{z}}^+$ 에 대해 불변인가?

주요 결과

• 논문은 새로운 슬라이스 $\hat{\mu}$ 선택을 통해 모호성을 제거하고, 무한소 게이지 변환에 대해 독립적임을 증명함으로써, 게이지 불변인 두 루프 초스트링 칼라 측도를 도출한다.
• 초등각 3/2-형식과 스트레스 텐서 변형에서 유래하는 수정 항들을 포함함으로써, 총 미분의 모호성이 제거된 칼라 측도가 됨을 입증한다.
• 초주기 행렬 변화 공식 $\delta\hat{\Omega}_{IJ} = -\frac{i}{2}\int d^{2|2}{\bf z} H(\hat{\omega}_I{\cal D}_+\hat{\omega}_J + \hat{\omega}_J{\cal D}_+\hat{\omega}_I)$ 은 벡터장 $d\hat{\Omega}_{IJ}$ 의 구체적 실현을 제공한다.
• 동치류 $[\mu_\alpha]$ 는 $\langle\mu_\alpha|\omega_I\omega_J\rangle = \frac{1}{8\pi}\int d^2zd^2w \chi_{\alpha\bar{z}}^+ S_\delta(z,w) \chi_{\bar{w}}^+ (\omega_J(z)\omega_I(w) + \omega_I(z)\omega_J(w))$ 를 통해 유일하게 결정되며, 중력편미분 데이터와 주기 행렬 이동 간의 연결 고리를 제공한다.
• 이 방법은 초등각 구조와 초주기 행렬 상의 등각 구조 사이의 대응을 확립함으로써, 일관된 게이지 고정을 가능하게 한다.
• 최종적으로 칼라 측도 공식이 명확하고 슬라이스에 독립적이며, 초스트링 양자역학의 오랜 문제를 해결한다.