[논문 리뷰] Two open problems in the fixed point theory of contractive type mappings on first-countable quasimetric spaces

Mitrofan M. Choban, Vasile Berinde|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 29.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 8인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 첫 번째 가산 쿼심트릭스 공간에서의 수축 사상에 대한 고정점 이론에서 두 개의 열린 문제를 해결한다. 완비 쿼심트릭스 공간에서의 수축 사상이 고정점을 가짐을 증명하고, F-대칭 공간과 관련된 문제에 부분적인 답을 제시하며, 비대칭 설정에서 이러한 문제의 복잡성을 설명하기 위해 네 가지 구체적인 예를 제시한다.

ABSTRACT

Two open problems in the fixed point theory of quasi metric spaces posed in [Berinde, V. and Choban, M. M., {\it Generalized distances and their associate metrics. Impact on fixed point theory}, Creat. Math. Inform. {\bf 22} (2013), no. 1, 23--32] are considered. We give a complete answer to the first problem, a partial answer to the second one, and also illustrate the complexity and relevance of these problems by means of four very interesting and comprehensive examples.

연구 동기 및 목표

• 문제 1 해결: 완비 쿼심트릭스 공간에서의 수축 사상이 고정점을 가지는가?
• 문제 2에 대한 부분적 답변: 완비 F-대칭 공간에서의 수축 사상이 고정점을 가지는가?
• 네 가지 종합적인 예를 통해 이러한 문제의 복잡성과 관련성을 입증한다.
• 쿼심트릭스 공간에서 이격 완비성과 표준 완비성의 차이를 명확히 한다.
• 쿼심트릭스 공간에서의 고정점 정리가 메트릭 공간의 고전적 결과로 일반화되는 조건을 설정한다.

제안 방법

• 쿼심트릭스에 대응하는 대칭의 개념을 사용하여 쿼심트릭스 공간을 메트릭 공간과 연결한다. 이는 $ d_s(x,y) = d(x,y) + d(y,x) $ 로 정의된다.
• 대칭 $ d_s $ 에서 고전적인 바나흐 수축 원리 적용을 통해, 만약 $ g $ 가 $ (X,d) $ 에서 $ \lambda $-수축이면, $ (X,d_s) $ 에서도 $ \lambda $-수축임을 보인다.
• 쿼심트릭스 공간 $ (X,d) $ 의 이격 완비성과 대칭 공간 $ (X,d_s) $ 의 완비성 간의 동치성을 활용하여, 쿼심트릭스 공간의 고정점 문제를 메트릭 공간 이론으로 환원한다.
• N-거리와 F-거리(프레셰 거리)의 개념을 사용하여 쿼심트릭스 설정에서의 수렴성과 극한의 유일성을 분석한다.
• 비대칭 쿼심트릭스 공간에서의 수열의 행동, 수렴성, 고정점 행동을 설명하기 위해 네 가지 세부적인 예를 구성한다.
• 피카르 궤도 $ O(x,\varphi) = \{ \varphi^n(x) \} $ 를 분석하고, 수축 조건 하에서 이러한 궤도가 코시이면서 이격 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완비 첫 번째 가산 쿼심트릭스 공간에서의 모든 수축 사상이 고정점을 가지는가?
• RQ2 완비 F-대칭 공간에서의 수축 사상이 고정점을 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ3 쿼심트릭스 공간에서 이격 수렴성과 표준 수렴성은 어떻게 다름을 보이며, 고정점 존재성에서 그 역할은 무엇인가?
• RQ4 쿼심트릭스 공간에서 완비성과 이격 완비성의 관계는 무엇인가?
• RQ5 쿼심트릭스 공간의 위상적 및 메트릭적 성질이 반복 수열과 고정점의 행동에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 문제 1은 완전히 해결됨: 완비 쿼심트릭스 공간에서의 모든 수축 사상은 유일한 고정점을 가짐.
• 문제 2는 부분적으로 해결됨: F-대칭 조건을 가정할 경우, 완비 F-대칭 공간에서의 수축 사상은 유일한 고정점을 가짐.
• 공간 $ (X,d) $ 는 이격 완비일 때이고, 그때에만 관련 대칭 공간 $ (X,d_s) $ 가 완비이다.
• 이격 완비 쿼심트릭스 공간에서, 모든 수축 사상은 유일한 고정점을 가지며, 모든 피카르 궤도는 그 고정점으로 이격 수렴한다.
• 제시된 예들은 쿼심트릭스 공간에서 코시 수열이 유일한 극한으로 수렴하지 않을 수 있으며, 고정점 존재성에 있어 이격 수렴이 필수적임을 보여준다.
• 논문은 $ d $ 가 F-거리임과 동시에 $ d(x,z) \leq \varepsilon $ 를 만족시키는 조건이 성립함을 증명한다. 이 조건은 $ d(x,y) \leq \delta $ 와 $ d(y,z) \leq \delta $ 를 만족할 때, $ \delta $ 가 $ \varepsilon $ 에만 의존하는 균일 연속성 조건을 충족함을 의미한다.