[논문 리뷰] Two Person Zero-sum Game in Weak Formulation and Path Dependent Bellman-Isaacs Equation

Triet Pham, Jianfeng Zhang|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 제어를 대칭적으로 다루는 약한 설정을 사용하여 두 인용자 0합 확률적 미분 게임에서 게임 값의 존재성을 확립한다. 이는 전략 기반 접근 방식의 비대칭성을 피하기 위한 것이다. 값 과정은 경로에 의존하는 벨만-이za크 방정식의 유일한 점성 해로 특성화되며, 자연스러운 조건 하에서 고전 결과를 비마르코프, 확산 제어 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we study a two person zero sum stochastic differential game in weak formulation. Unlike standard literature which uses strategy type of controls, the weak formulation allows us to consider the game with control against control. We shall prove the existence of game value under natural conditions. Another main feature of the paper is that we allow for non-Markovian structure, and thus the game value is a random process. We characterize the value process as the unique viscosity solution of the corresponding path dependent Bellman-Isaacs equation, a notion recently introduced by Ekren, Keller, Touzi and Zhang (arXiv:1109.5971) and Ekren, Touzi and Zhang.

연구 동기 및 목표

• 표준 강한 설정에서 이사스 조건이 실패할 경우 게임 값의 존재하지 않는 문제를 해결하기 위해.
• 제어가 상태 과정에 직접 작용하는 대칭적인 약한 설정 프레임워크를 개발하여, 안정적인 사다리점 정의를 가능하게 하기 위해.
• 경로에 의존하는 비마르코프 확률적 미분 게임에 대해 동적 프로그래밍 원리와 점성 해 이론을 확장하기 위해.
• 에크렌 등이 도입한 경로에 의존하는 벨만-이사스 방정식의 유일한 점성 해로 값 과정을 특성화하기 위해.
• 강한 설정에서도 표준 조건 하에 게임 값이 존재하지 않을 수 있음을 보여주는 반례를 제시하여, 약한 설정의 필요성을 정당화하기 위해.

제안 방법

• 제어된 상태 과정이 전체 경로에 대한 피드백 제어를 통해 정의되는 약한 설정에서 게임을 수립한다: $ X^{W,u,v}_t = x + \int_0^t b(s, u_s(X^{W,u,v}_\cdot), v_s(X^{W,u,v}_\cdot)) ds + \int_0^t \sigma(s, u_s(X^{W,u,v}_\cdot), v_s(X^{W,u,v}_\cdot)) dB_s $.
• 강한 설정보다 검증에 유리한 약한 설정에서의 동적 프로그래밍 원리(DPP)를 사용한다.
• 에크렌, 켈러, 투지, 장이 도입한 경로에 의존하는 편미분방정식의 점성 해 개념을 활용하여 값 과정을 경로에 의존하는 벨만-이사스 방정식의 유일한 점성 해로 특성화한다.
• DPP와 비교 원리를 활용하여 자연스러운 조건(예: 계수의 유계성, 연속성, 비퇴화성) 하에서 게임 값의 존재성을 확립한다.
• 강한 설정에서도 이사스 조건을 만족함에도 불구하고 $ \underline{Y}_0 < \overline{Y}_0 $임을 보여주는 반례(예제 8.1)를 제시한다. 이는 기존 접근 방식의 한계를 드러낸다.
• 확산 제어의 경우, 확률적 미분 방정식과 조건부 기대값을 활용하여 프레임워크를 조정하며, 필요에 따라 $ f=0 $ 및 조건부 기대값 기반 값 과정을 허용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확산 제어를 갖는 두 인용자 0합 확률적 미분 게임에서 게임 값은 어떤 조건 하에 존재하는가?
• RQ2 전략 기반 제어에 의존하지 않고, 제어 대 제어의 대칭적 설정을 통해 게임 값과 사다리점을 정의할 수 있는가?
• RQ3 경로에 의존하고 비마르코프인 게임에 대해 약한 설정에서 동적 프로그래밍 원리를 어떻게 확립하고 적용할 수 있는가?
• RQ4 경로에 의존하는 벨만-이사스 방정식은 값 과정을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가? 그리고 이는 유일한 점성 해를 갖는가?
• RQ5 표준 강한 설정은 이사스 조건이 성립함에도 불구하고 게임 값의 존재를 보장하지 못하는 이유는 무엇인가?

주요 결과

• 자연스러운 조건 하에서 강한 설정에서는 존재하지 않을 수 있으나, 약한 설정에서는 게임 값이 존재한다.
• 값 과정은 경로에 의존하는 벨만-이사스 방정식의 유일한 점성 해로 특성화되며, 이는 고전적인 PDE 기반 특성화를 비마르코프 설정으로 확장한다.
• 반례(예제 8.1)는 $ 0 \leq \alpha < \sqrt{T/2} $ 이며 $ |a| \leq T $ 일 때 강한 설정에서 $ \underline{Y}_0 < \overline{Y}_0 $ 임을 보여주며, 표준 가정 하에서도 게임 값이 존재하지 않음을 입증한다.
• 약한 설정은 제어의 대칭적 처리를 가능하게 하여, 특히 드리프트 제어 케이스에서 사다리점의 자연스러운 정의를 가능하게 한다.
• 드리프트 제어 케이스에서는 온건한 조건 하에서 사다리점의 존재를 증명할 수 있으나, 확산 제어의 경우 근사 사다리점을 확보한다.
• 확산이 없는 결정론적 경우(예: $ \alpha = 0 $)에도 불구하고 약한 설정은 여전히 잘 정의된 게임 값을 제공하므로, 이 프레임워크는 여전히 유효하다.