[논문 리뷰] Two-sample Test of Community Memberships of Weighted Stochastic Block Models

Yezheng Li, Hongzhe Li|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 30.

Complex Network Analysis Techniques참고 문헌 37인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 가중치가 부여된 스토케스틱 블록 모델(WSBM)으로 생성된 두 개의 가중치가 부여된 네트워크에서 커뮤니티 구성이 통계적으로 동일한지 여부를 판단하기 위한 이중표본 가설검정을 제안한다. 단일 하위공간 거리와 프로크루스테스 변환, 그리고 랜덤 매트릭스 이론을 사용하여 조밀한 그래프 조건 하에서 검정 통계량의 점근적 분포를 유도하였으며, 이는 타입 I 오류를 적절히 통제하고, R{\'e}nyi 분류의 순서 1/2로 측정된 분포 간의 분리 정도가 증가할수록 검정력이 증가하는 것을 보여주며, Enron 이메일 네트워크 데이터로 검증되었다.

ABSTRACT

Suppose two networks are observed for the same set of nodes, where each network is assumed to be generated from a weighted stochastic block model. This paper considers the problem of testing whether the community memberships of the two networks are the same. A test statistic based on singular subspace distance is developed. Under the weighted stochastic block models with dense graphs, the limiting distribution of the proposed test statistic is developed. Simulation results show that the test has correct empirical type 1 errors under the dense graphs. The test also behaves as expected in empirical power, showing gradual changes when the intra-block and inter-block distributions are close and achieving 1 when the two distributions are not so close, where the closeness of the two distributions is characterized by Renyi divergence of order 1/2. The Enron email networks are used to demonstrate the proposed test.

연구 동기 및 목표

• 두 개의 동일한 노드를 공유하는 가중치가 부여된 네트워크 간의 커뮤니티 구조를 비교하기 위한 통계적 검정을 개발하는 것.
• 가중치가 부여된 스토케스틱 블록 모델(WSBM)에 대한 이중표본 추론 방법의 부족을 보완하는 것.
• 조밀한 그래프 점근 조건 하에서 단일 하위공간 거리 기반 검정 통계량의 점근적 분포를 설정하는 것.
• 다양한 분포 간의 분리 정도에 따라 검정의 경험적 타입 I 오류 비율과 검정력을 평가하는 것.
• 실제 Enron 이메일 네트워크 데이터를 활용하여 방법의 실용성을 입증하는 것.

제안 방법

• 검정 통계량은 두 네트워크의 인접행렬의 왼쪽 단일 하위공간 간의 프로크루스테스 변환된 차이의 프로베니우스 노름에 기반한다.
• 스펙트럴 클러스터링을 사용하여 WSBM 가정 하에서 가중치가 부여된 인접행렬로부터 커뮤니티 구성원을 추정한다.
• 조밀한 그래프 조건 하에서 검정 통계량의 점근적 분포를 도출하기 위해 랜덤 매트릭스 이론과 순간 매칭을 적용한다.
• Tang 등(2017)의 하위공간 거리 점근 전개를 조밀한 그래프로 확장하여 검정 통계량의 평균과 분산을 계산한다.
• 불균형한 블록 크기를 고려하고, 유한 표본에서의 강건성을 확보하기 위해 정규화를 적용한다.
• 이론적 결과는 시뮬레이션을 통해 검증되었으며, Enron 이메일 네트워크 데이터셋에 적용되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동일한 노드를 공유하는 두 개의 가중치가 부여된 네트워크가 동일한 기반 커뮤니티 구조를 가지는지 검정할 수 있는가?
• RQ2 조밀한 그래프 점근 조건 하에서 두 WSBM 네트워크 간의 단일 하위공간 거리의 점근적 분포는 무엇인가?
• RQ3 R{\'e}nyi 분류의 순서 1/2로 측정된 블록 내 및 블록 간 간선 가중치 분포 간의 분리 정도가 증가할수록 검정의 검정력은 어떻게 변하는가?
• RQ4 다양한 네트워크 조밀도와 블록 크기 구성 조건 하에서 타입 I 오류 비율이 정확하게 유지되는가?
• RQ5 시간적 변화 네트워크 데이터에서 발생하는 커뮤니티 구조의 미세한 변화를 탐지할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 검정은 다양한 네트워크 크기와 블록 구성 조건에서 조밀한 그래프 조건 하에서 경험적 타입 I 오류 비율을 정확히 유지하며, 이는 항상 명목상 5% 수준에 가까운 수준을 유지한다.
• R{\'e}nyi 분류의 순서 1/2로 측정된 블록 내 및 블록 간 간선 가중치 분포 간의 분리 정도가 증가할수록 경험적 검정력이 점차 증가하며, 분포가 충분히 다를 경우 검정력이 1에 도달한다.
• K=2일 경우, 모든 표본 크기(n=500에서 8000)에서 타입 I 오류 비율이 6% 이하로 유지되며, K>2일 경우 타입 I 오류 비율은 K가 증가함에 따라 증가하지만 여전히 통제 가능하며, n=500일 때 K=4일 경우 최대 91.9%까지 유지된다.
• 검정 통계량의 점근적 분포는 순간 매칭과 랜덤 매트릭스 이론을 통해 도출되었으며, 이는 기존 문헌에서 조밀한 WSBM에 대해 아직 제공되지 않은 새로운 기여이다.
• 검정은 커뮤니티 구조의 차이를 매우 높은 검정력으로 탐지할 수 있으며, 두 분포가 가까이 있지 않을 경우 시뮬레이션과 Enron 네트워크 분석을 통해 검정력이 1에 수렴하는 것으로 확인되었다.
• 이 방법은 불균형한 블록 크기에 대해 강건하며, 중간 크기의 표본에서도 잘 작동하며, K가 2를 초과할 경우 수렴 속도가 다소 느려지더라도 여전히 양호한 성능을 보인다.