[논문 리뷰] Type A Distributions: Infinitely Divisible Distributions Related to Arcsine Density

Makoto Maejima, Víctor Pérez‐Abreu외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 05.

Random Matrices and Applications참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 코사인 함수 cos(πt/2)를 사용하여 레비 과정에 대한 스토크라스틱 적분을 통해 정의된 R^d 상의 무한히 나누어지는 분포의 새로운 클래스인 유형 A 분포를 소개한다. 주요 기여는 유형 A 분포가 두 개의 아크사인 기반 변환 𝒜₁ 및 𝒜₂에 의해 레비 측도의 상(image)으로 나타나며, 이 두 변환이 동일한 범위를 가지며, 주어르기 클래스를 진부분집합으로 포함한다는 것을 보여주는 것이다. 이 클래스는 스토크라스틱 적분 사상과 연결되어 일반화된 유형 G 분포와 연관된다.

ABSTRACT

Two transformations $\mathcal{A}_{1}$ and $\mathcal{A}_{2}$ of Lévy measures on $\mathbb{R}^{d}$ based on the arcsine density are studied and their relation to general Upsilon transformations is considered. The domains of definition of $\mathcal{A}_{1}$ and $\mathcal{A}_{2}$ are determined and it is shown that they have the same range. Infinitely divisible distributions on $\mathbb{R}^{d}$ with Lévy measures being in the common range are called type $A$ distributions and expressed as the law of a stochastic integral $\int_0^1\cos (2^{-1}πt)dX_t$ with respect to Lévy process $\{X_t\}$. \ This new class includes as a proper subclass the Jurek class of distributions. It is shown that generalized type $G$ distributions are the image of type $A$ distributions under a mapping defined by an appropriate stochastic integral. $\mathcal{A}_{2}$ is identified as an Upsilon transformation, while $\mathcal{A}_{1}$ is shown to be not.

연구 동기 및 목표

• R^d 상의 새로운 무한히 나누어지는 분포 클래스인 유형 A 분포를 정의하고 특성화하는 것. 이는 아크사인 밀도를 기반으로 한다.
• R^d 상의 레비 측도에 대해 아크사인 밀도로부터 유도된 두 변환 𝒜₁ 및 𝒜₂를 연구하고, 그 정의역과 치역을 결정하는 것.
• 두 변환의 치역이 동일하며, 주어르기 클래스 U(R^d)를 진부분집합으로 포함한다는 것을 보여주는 것.
• 레비 과정 Xₜ^(μ)에 대해 ∫₀¹ cos(πt/2) dXₜ^(μ)의 법칙으로서 유형 A 분포의 스토크라스틱 적분 표현을 수립하는 것.
• 스토크라스틱 적분 사상에 의한 유형 A 분포와 일반화된 유형 G 분포 간의 관계를 탐색하는 것.

제안 방법

• 아크사인 밀도 a(x;s) = π⁻¹(s − x²)⁻¹/² (|x| < s¹/²)를 사용하여 R^d 상의 레비 측도에 대한 두 변환 𝒜₁ 및 𝒜₂를 정의한다.
• 𝒜₁의 정의역은 ℳᴸ¹(R^d), 𝒜₂의 정의역은 ℳᴸ²(R^d)이며, 이들의 치역이 일치함을 보인다.
• 유형 A 분포는 𝒜₁ 및 𝒜₂의 공통된 치역에 속하는 레비 측도를 가진 무한히 나누어지는 분포의 집합으로 정의된다.
• 레비 과정 Xₜ^(μ)의 분포 μ ∈ I(R^d)에 대해 ∫₀¹ cos(πt/2) dXₜ^(μ)의 법칙으로서 유형 A 분포를 표현한다.
• 𝒜₂가 유프시온 변환임을 식별하고, 𝒜₁가 그렇지 않음을 보인다.
• 일반화된 유형 G 분포의 클래스는 스토크라스틱 적분 사상 Φ_cos에 의한 유형 A 분포의 상(image)임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 R^d 상의 레비 측도에 대해 두 아크사인 기반 변환 𝒜₁ 및 𝒜₂의 정의역과 치역은 무엇인가?
• RQ2 변환 𝒜₁ 및 𝒜₂는 일반적인 유프시온 변환 프레임워크와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 R^d 상의 유형 A 분포의 스토크라스틱 적분 표현은 무엇인가?
• RQ4 유형 A 분포의 클래스는 주어르기 클래스 U(R^d)와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 유형 A 분포와 일반화된 유형 G 분포 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 변환 𝒜₁ 및 𝒜₂는 동일한 치역 ℛ(𝒜ₖ)을 가지며, 각각 정의역은 ℳᴸ¹(R^d) 및 ℳᴸ²(R^d)이다.
• R^d 상의 유형 A 분포의 클래스는 ℛ(𝒜ₖ)에 속하는 레비 측도를 가진 무한히 나누어지는 분포의 집합이며, ∫₀¹ cos(πt/2) dXₜ^(μ)의 스토크라스틱 적분 표현으로 특성화된다.
• 클래스 A(R^d)는 Φ_cos(I(R^d))와 동일하며, 여기서 Φ_cos(μ) = ℒ(∫₀¹ cos(πt/2) dXₜ^(μ))이다.
• 일반화된 유형 G 분포의 레비 측도의 클래스는 𝒜₁에 의한 B(R^d) ∩ ℳᴸ¹(R^d)의 상(image)이다.
• 변환 𝒜₂는 유프시온 변환로 식별되었고, 𝒜₁는 그렇지 않다.
• ℛ(𝒜ₖ)에 속하는 레비 측도의 명시적 예시가 구성되었으며, 예를 들어 ν(dx) = 2⁻¹π⁻¹/² e⁻ˣ²/⁸ K₀(x²/8) 1_{(0,∞)}(x) dx 는 특정 ρ ∈ ℳᴸ¹(R)에 대해 𝒜₁(ρ)에 해당한다.