[논문 리뷰] $u au$-Convergence in locally solid vector lattices

Y. A. Dabboorasad, Eduard Emelyanov외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 06.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 고체 벡터 격자에서 uτ수렴을 도입하고 연구하며, 비균일 노름 수렴과 절대 약수렴을 일반화한다. uτ위상, 그의 메트라이잭빌리티 및 완전성에 대한 조건을 정의하고, τ유계 집합의 순차적 uτ완전성이 레베그 성질과 레비 성질을 유도함으로써, 노름화된 격자와 순서 연속 격자에서 알려진 결과를 확장한다.

ABSTRACT

Let $x_\\alpha$ be a net in a locally solid vector lattice $(X,\ au)$; we say that $x_\\alpha$ is unbounded $\ au$-convergent to a vector $x\\in X$ if $\\lvert x_\\alpha-x \ vert\\wedge w \\xrightarrow{\ au} 0$ for all $w\\in X_+$. In this paper, we study general properties of unbounded $\ au$-convergence (shortly, $u\ au$-convergence). $u\ au$-Convergence generalizes unbounded norm convergence and unbounded absolute weak convergence in normed lattices that have been investigated recently. Besides, we introduce $u\ au$-topology and study briefly metrizabililty and completeness of this topology.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 고체 벡터 격자의 맥락에서 비균일 노름 수렴과 절대 약수렴을 일반화하기 위해.
• uτ수렴 및 uτ위상의 성질을 정의하고 조사하기 위해.
• uτ위상이 메트라이잭빌리티 또는 완전성 조건을 만족하는 경우를 규명하기 위해.
• 국소적으로 고체 벡터 격자에서 τ유계 집합의 순차적 uτ완전성과 레베그 성질 및 레비 성질 간의 관계를 규명하기 위해.

제안 방법

• 모든 w ∈ X+에 대해 |xα − x| ∧ w τ→ 0 이면 uτ수렴을 정의한다.
• uτ수렴의 위상으로서 uτ위상을 도입한다.
• 족 {ρj}j∈J를 이용해 τ수렴과 uτ수렴을 특성화한다.
• 만약 (X, τ)가 메트라이잭빌리티를 가지며 약한 단위를 갖는다면, d(x,y) = Σ 1/2^k * ρk(|x−y|∧e)/(1+ρk(|x−y|∧e)) 를 통해 uτ위상이 부분메트라이잭빌리티를 가짐을 증명한다.
• [26, Thm. 1]의 결과를 응용하여 uτ완전성과 레베그 성질 및 레비 성질 간의 관계를 규명한다.
• 추가적인 유계 조건 없이 τ완전성과 레베그 성질이 uτ완전성을 유도하지 않는다는 것을 보여주는 예를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적으로 고체 벡터 격자에서 uτ위상은 언제 메트라이잭빌리티 또는 부분메트라이잭빌리티를 갖는가?
• RQ2 τ유계 집합이 순차적 uτ완전성이 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 국소적으로 고체 벡터 격자에서 uτ완전성은 레베그 성질 및 레비 성질과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 무한 차원인 τ완전성과 레베그 격자이지만 uτ완전성이 아닌 경우는 존재하는가?
• RQ5 uτ위상은 항상 위상적일까? 그리고 언제 메트릭 위상보다 더 빡빡한가?

주요 결과

• (X, τ)가 메트라이잭빌리티를 가지며 약한 단위를 갖는다면, uτ위상은 부분메트라이잭빌리티를 가진다.
• 모든 τ유계 집합이 순차적 uτ완전성을 갖는 τ완전한 국소적으로 고체 벡터 격자는 레베그 성질과 레비 성질을 만족해야 한다.
• 무한 차원이면서 τ완전성과 레베그 격자이면서 uτ완전성인 (X, τ)가 존재함을 보여, uτ완전성이 유한 차원성을 유도하지는 않음을 시사한다.
• uτ수렴은 노름 격자에서 un수렴과 uaw수렴을 모두 일반화한다.
• 일반적으로 uτ위상은 반드시 위상적이지는 않지만, 기본 위상 τ가 메트라이잭빌리티를 가지며 격자가 약한 단위를 갖는다면 위상적이다.
• ρj((xn)) = |xj| 인 s의 예시는 dim X = ∞ 이더라도 τ완전성과 레베그 격자가 uτ완전성을 갖을 수 있음을 보여준다.