[논문 리뷰] Ultimate Boundedness for Switched Systems with Multiple Equilibria Under Disturbances

Sushant Veer, Ioannis Poulakakis|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 08.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 외부 교란이 존재하는 다중 평형점을 가진 스위치 제어 이산 및 연속 시스템에 대해 최종 유계성(finite ultimate boundedness)을 확립한다. 각 하위계가 입력-상태 안정성(Input-to-State Stability, ISS)을 만족하고 스위칭이 평균 체류시간 평균 조건을 따를 경우, 해는 교란 크기와 단조적으로 증가하는 크기의 컴act 집합 내에서 최종적으로 유계로 유지됨을 보여준다. 본 결과는 공통 평형점을 공유하는 스위치 시스템에 대한 고전적 ISS를 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate the robustness to external disturbances of switched discrete and continuous systems with multiple equilibria. It is shown that if each subsystem of the switched system is Input-to-State Stable (ISS), then under switching signals that satisfy an average dwell-time bound, the solutions are ultimately bounded within a compact set. Furthermore, the size of this set varies monotonically with the supremum norm of the disturbance signal. It is observed that when the subsystems share a common equilibrium, ISS is recovered for solutions of the corresponding switched system; hence, the results in this paper are a natural generalization of classical results in switched systems that exhibit a common equilibrium. Additionally, we provide a method to analytically compute the average dwell time if each subsystem possesses a quadratic ISS-Lyapunov function. Our motivation for studying this class of switched systems arises from certain motion planning problems in robotics, where primitive motions, each corresponding to an equilibrium point of a dynamical system, must be composed to realize a task. However, the results are relevant to a much broader class of applications, in which composition of different modes of behavior is required.

연구 동기 및 목표

• 외부 교란 하에서 다중 평형점을 가진 스위치 시스템의 강인성 분석.
• 서브시스템이 공통 평형점을 공유하지 않는 스위치 시스템에 대해 입력-상태 안정성(Input-to-State Stability, ISS) 이론을 확장.
• 스위칭과 교란이 존재하더라도 해가 최종적으로 유계로 유지되는 조건 설정.
• 각 서브시스템이 2차 ISS 라플라스 함수를 갖는 경우 평균 체류시간의 해석적 계산 방법 제공.
• 로봇 공학의 운동 계획을 지원하기 위해 서로 다른 역학적 행동(예: 걸음걸이 프리미티브)의 강인한 조합 가능성을 제공.

제안 방법

• 외부 교란 하에서의 스위치 시스템 거동 분석을 위한 기초로 각 서브시스템의 입력-상태 안정성(Input-to-State Stability, ISS) 활용.
• 서브시스템 간 평형점이 다를 수 있음에도 불구하고 전체 시스템 안정성을 확보하기 위해 평균 체류시간 스위칭 신호 적용.
• 스위칭 시 증가할 수 있는 다중 라플라스 함수를 사용하되, 평균 체류시간 조건 하에서는 전체적으로 감소함.
• 각 서브시스템의 평형점에서의 상태 편차 상한을 유도하며, 초기 조건과 교란 크기에 의존함을 보여줌.
• 각 서브시스템이 2차 ISS 라플라스 함수를 갖는 경우 평균 체류시간을 해석적으로 계산할 수 있는 방법 도입.
• 최종 유계성과 일시적 감쇠 행동을 기술하기 위해 클래스-𝐾∞ 및 클래스-𝐾𝐿 함수 활용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 평형점을 가진 스위치 시스템이 외부 교란 하에서 어떤 스위칭 조건에서 최종적으로 유계로 유지되는가?
• RQ2 서브시스템이 공통 평형점을 공유하지 않을 경우 입력-상태 안정성(Input-to-State Stability, ISS)이 스위치 시스템에서 유지될 수 있는가?
• RQ3 이러한 시스템에서 최종 유계의 크기는 교란 크기에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 2차 ISS 라플라스 함수를 갖는 시스템에 대해 평균 체류시간 조건을 해석적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 스위칭 신호와 전체 시스템 거동의 강인성 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 각 서브시스템이 ISS 이고 스위칭 신호가 평균 체류시간 조건을 만족할 경우, 스위치 시스템의 해는 컴 pact 집합 내에서 최종적으로 유계로 유지된다.
• 최종 유계의 크기는 교란 신호의 상한 노름에 대해 단조적으로 증가한다.
• 모든 서브시스템이 공통 평형점을 공유할 경우 시스템은 완전한 ISS를 회복하며, 이는 본 결과가 고전적 스위치 시스템의 ISS를 일반화함을 보여준다.
• 각 서브시스템이 2차 ISS 라플라스 함수를 갖는 경우 평균 체류시간에 대한 해석적 표현을 도출할 수 있다.
• 최종 유계는 해당 서브시스템의 평형점에서의 초기 편차에 의존하며, 클래스-𝐾∞ 함수를 통해 교란 크기와 비례한다.
• 상태 편차의 일시적 감쇠는 클래스-𝐾𝐿 함수로 기술되며, 최종 유계로의 점진적 수렴을 보장한다.