[논문 리뷰] Uniform Stability and Error Analysis for Some Discontinuous Galerkin Methods

Qingguo Hong, Jinchao Xu|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 22.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 매개변수에 의존하는 노름과 레이즈엔스카야-바부시카-브레즈지(Ladyzhenskaya-Babuška-Brezzi, LBB) 이론을 도입하여 하이브리드 불연속 갈레르킨(HDG) 및 움직임 갈레르킨(WG) 방법에 대해 균일한 안정성과 최적의 오차 추정을 수립한다. HDG 방법이 안정성 매개변수의 값이 0으로 수렴할 때 원시 적합 방법으로 수렴하고, WG 방법이 혼합 적합 방법으로 수렴함을 증명하며, 이러한 오차 추정은 이 매개변수에 영향을 받지 않는다.

ABSTRACT

In this paper, we provide a number of new estimates on the stability and convergence of both hybrid discontinuous Galerkin (HDG) and weak Galerkin (WG) methods. By using the standard Brezzi theory on mixed methods, we carefully define appropriate norms for the various discretization variables and then establish that the stability and error estimates hold uniformly with respect to stabilization and discretization parameters. As a result, by taking appropriate limit of the stabilization parameters, we show that the HDG method converges to a primal conforming method and the WG method converge to a mixed conforming method.

연구 동기 및 목표

• 안정성 매개변수와 메쉬 크기 매개변수에 대해 HDG 및 WG 방법의 균일한 안정성과 최적의 오차 추정을 수립하기.
• 안정성 매개변수가 0으로 수렴할 때 HDG 방법이 원시 적합 방법으로, WG 방법이 혼합 적합 방법으로 수렴함을 보여주기.
• 모든 매개변수 값에서 안정성과 오차 추정이 균일하도록 유지할 수 있도록 매개변수에 의존하는 노름을 개발하기.
• 적절한 변분 설정을 통해 LBB 이론의 적용 범위를 HDG 및 WG 방법으로 확장하기.
• 안정성과 수렴성 분석을 위한 통합 프레임워크를 제공하여 안정성 매개변수에 의존하지 않는 불연속 갈레르킨 방법의 분석 가능성을 높이기.

제안 방법

• 적절히 구성된 매개변수에 의존하는 노름 하에서, 레이즈엔스카야-바부시카-브레즈지(Ladyzhenskaya-Babuška-Brezzi, LBB) 이론을 적용하여 HDG 및 WG 방법의 균일한 안정성을 도출하기.
• 안정성 매개변수와 메쉬 크기를 포함하는 노름을 정의하여 모든 매개변수 값에서 균일한 유계성을 확보하기.
• HDG 및 WG 방법의 변분 설정을 사용하여 안정성 매개변수에 영향을 받지 않는 사전 오차 추정을 도출하기.
• 이산 해가 연속 해와 관련된 프로젝션 기반 분석 프레임워크를 구축하여 최적 수렴 속도를 확보하기.
• 에너지 유사 항등식을 유도하고, 매개변수화된 상수를 가진 얀슨 부등식을 적용하여 잔여 항을 유계로 제한하기.
• 극한 분석을 통해 안정성 매개변수가 0으로 수렴할 때 HDG 및 WG 방법이 표준 적합 갈레르킨 방법으로 수렴함을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 안정성 매개변수의 모든 값에서 HDG 및 WG 방법에 대해 균일한 안정성을 확보할 수 있는가?
• RQ2 HDG 및 WG 방법의 오차 추정은 안정성 매개변수에 영향을 받지 않고 최적의 수렴 속도를 유지하는가?
• RQ3 안정성 매개변수가 0으로 수렴할 때 HDG 및 WG 방법은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 적절한 노름 선택을 통해 LBB 이론을 HDG 및 WG 방법에 효과적으로 적용할 수 있는가?
• RQ5 안정성 매개변수가 0으로 수렴할 때, HDG 및 WG 방법의 이산 해는 표준 적합 갈레르킨 방법의 해와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 매개변수에 의존하는 노름 하에서 HDG 및 WG 방법에 대해 균일한 안정성이 입증되었으며, 이는 안정성 매개변수와 메쉬 크기와 무관하게 유지된다.
• HDG 및 WG 방법에 대해 최적의 오차 추정이 확립되었으며, 수렴 속도는 안정성 매개변수에 영향을 받지 않는다.
• 안정성 매개변수가 0으로 수렴할 때, HDG 방법은 원시 적합 갈레르킨 방법으로 수렴한다.
• 안정성 매개변수가 0으로 수렴할 때, WG 방법은 혼합 적합 갈레르킨 방법으로 수렴한다.
• 분석 결과, HDG 및 WG 방법이 적합 방법으로 수렴하는 것은 모든 매개변수 값에서 강건하고 균일함을 확인하였다.
• 제안된 노름과 안정성 프레임워크를 통해 고전적인 LBB 이론을 사용하여 HDG 및 WG 방법을 통합적으로 다룰 수 있었다.