[논문 리뷰] A Primal-Dual Weak Galerkin Finite Element Method for Fokker-Planck Type Equations

Chunmei Wang, Junping Wang|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 19.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 20인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 비연속성 있는 분산 텐서를 가진 포커-플랑크 유형 방정식을 해결하기 위해 원시-이중 약한 갈레르킨(PD-WG) 유한요소 방법을 제안한다. 이 방법은 정확한 해의 정규성 요구 조건을 피하기 위해 도함수를 시험 함수에 적용한다. 이 방법은 다면체 메esh에서 약한 헤시안 및 약한 기울기 연산자를 사용하여, 비연속 해일지라도 최적 수렴 속도를 달성한다.

ABSTRACT

This paper presents a primal-dual weak Galerkin (PD-WG) finite element method for a class of second order elliptic equations of Fokker-Planck type. The method is based on a variational form where all the derivatives are applied to the test functions so that no regularity is necessary for the exact solution of the model equation. The numerical scheme is designed by using locally constructed weak second order partial derivatives and the weak gradient commonly used in the weak Galerkin context. Optimal order of convergence is derived for the resulting numerical solutions. Numerical results are reported to demonstrate the performance of the numerical scheme.

연구 동기 및 목표

• 비연속 또는 비연속 분산 텐서를 가진 포커-플랑크 방정식을 해결하는 데 발생하는 수치적 과제를 다루기.
• 기존의 유한요소 방법이 분산 텐서에 대한 연속성 가정이 필요로 하는 한계를 극복하기.
• 비연속 해와 낮은 정규성 데이터를 가진 문제에 대해 안정적이고 수렴하는 스킴 개발하기.
• 수치 해에서 질량 보존 및 비음성과 같은 핵심 물리적 성질 유지하기.
• 최소한의 정규성 가정 하에 제안된 방법의 이론적 수렴 분석 제공하기.

제안 방법

• 모든 도함수가 시험 함수에 작용하는 원시-이중 약한 갈레르킨 변분 형태로 포커-플랑크 방정식을 수립하기.
• 비연속 계수를 처리할 수 있도록 제2차 도함수를 다루기 위해 약한 헤시안 연산자 도입하기.
• 대응하는 약한 갈레르킨 프레임워크에 맞게 대류 항에 대해 약한 기울기 사용하기.
• 메쉬 설계의 유연성을 확보하기 위해 다면체 분할 위에서 다항식의 조각별 조합을 사용해 유한요소 공간 구성하기.
• 일致성과 안정성을 확보하기 위해 원시 변수와 이중 변수를 함께 사용하는 혼합 형태 적용하기.
• 특히 비연속 문제에서 수치적 안정성을 향상시키기 위해 안정화 파rameter 적용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비연속 분산 텐서를 가진 포커-플랑크 방정식에 대해 수렴성을 유지하는 유한요소 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 원시-이중 약한 갈레르킨 형태가 해의 정규성 조건 없이 최적 수렴 속도를 유지하는가?
• RQ3 예를 들어 분산 계수에서 점프 불연속성이 있는 경우와 같이 비연속 정확한 해를 가진 문제에서 이 방법은 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 이 방법은 수치 해에서 질량 보존 및 비음성과 같은 물리적 성질을 유지할 수 있는가?
• RQ5 다양한 메쉬 세분화 및 다양한 다항식 근사에서 이 방법의 수렴 거동은 어떠한가?

주요 결과

• 이 방법은 최적 수렴 속도를 달성한다: 균일한 메쉬 세분화 하에서 에너지 노름 기준 수렴 차수 2, L2 노름 기준 수렴 차수 2.
• 수치 실험 결과는 부드러운 해에 대해 최적 수렴을 확인하며, 에너지 오차 및 L2 오차 모두 수렴 차수가 약 2에 가까운 것으로 나타났다.
• 비연속 해를 가진 문제에서는 정확한 해가 요소 경계에서 비연속이더라도 수치 해가 정확한 해와 매우 유사하게 나타난다.
• 비연속 분산 텐서를 가진 문제, 예를 들어 서로 다른 부분 영역에서 일정한 계수를 가진 문제에서도 이 방법은 안정적이고 정확하다.
• 비정규적인 다면체 메쉬에서도 잘 작동하여, 복잡한 기하구조에서의 강건성과 유연성을 보여준다.
• 정확한 해가 없는 경우에도 이 방법은 육면체나 표면도를 통해 물리적으로 타당한 수치 해를 생성한다. 10×10 계수 사례에서의 결과를 통해 이를 확인할 수 있다.