[논문 리뷰] Uniform stabilization for linear systems with persistency of excitation. The neutrally stable and the double integrator cases

Antoine Chaillet, Yacine Chitour외 2명|arXiv (Cornell University)|2007. 02. 23.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 지속적으로 자극되는(PE) 제어 신호를 가진 선형 시스템에 대해 균일 안정성을 확립한다. $ A $ 가 중립적으로 안정적이거나 시스템이 더블 인테그레이터인 경우, 고정된 선형 시간 불변 상태 피드백 $ K $ 가 전역 점근적 안정성을 보장함을 증명한다. 핵심 결과는 이러한 안정화 이득 $ K $ 가 존재하며, 제어 신호 $ \alpha(t) $ 가 간격 동안 0이 되더라도 PE 조건이 만족되면 $ (A,B) $, $ \mu $, $ T $ 에만 의존한다는 것이다.

ABSTRACT

Consider the controlled system $dx/dt = Ax + α(t)Bu$ where the pair $(A,B)$ is stabilizable and $α(t)$ takes values in $[0,1]$ and is persistently exciting, i.e., there exist two positive constants $μ,T$ such that, for every $t\geq 0$, $\int_t^{t+T}α(s)ds\geq μ$. In particular, when $α(t)$ becomes zero the system dynamics switches to an uncontrollable system. In this paper, we address the following question: is it possible to find a linear time-invariant state-feedback $u=Kx$, with $K$ only depending on $(A,B)$ and possibly on $μ,T$, which globally asymptotically stabilizes the system? We give a positive answer to this question for two cases: when $A$ is neutrally stable and when the system is the double integrator.

연구 동기 및 목표

• 고정된 선형 시간 불변(LTI) 상태 피드백 $ K $ 가 제어 신호 $ \alpha(t) $ 가 지속적으로 자극되는 조건에서, 제어 입력이 간헐적으로 0이 되는 경우에도 선형 시스템을 안정화할 수 있는지 여부를 규명한다.
• 제어 입력 $ \alpha(t)Bu $ 가 간격 동안 비활성화되어 시스템이 일시적으로 비가역성이 되는 경우의 안정화 과제를 다룬다.
• 정확한 $ \alpha(t) $ 의 스위칭 시간을 알지 못하더라도, 시스템 행렬 $ (A,B) $ 와 PE 파rameter $ \mu, T $ 만을 사용하여 안정화를 위한 구축 가능한 해법을 제공한다.
• 평균화 안정성 개념을 스칼라가 아니며 평균화할 수 없는 시스템으로 확장하기 위해, PE 조건 하에서 일반 안정화 이득 $ K $ 가 존재함을 증명한다.

제안 방법

• 저자는 시스템 $ \dot{x} = Ax + \alpha(t)Bu $ 를 분석하며, $ \alpha(t) \in [0,1] $ 이며 모든 $ t \geq 0 $ 에 대해 $ \int_t^{t+T} \alpha(s)ds \geq \mu $ 를 만족하는 PE 신호임을 가정한다. 여기서 $ \mu, T > 0 $ 이다.
• 중립적으로 안정된 경우, 리아푸노프 기반 추론과 시스템의 동역학적 구조를 활용하여 고정된 $ K $ 가 모든 이러한 $ \alpha(t) $ 에 대해 균일하게 시스템을 안정화함을 보인다.
• 더블 인테그레이터의 경우, $ A $ 의 니플로텐트 구조를 활용하고 브루노브스키 정규형으로의 변환을 통해 문제를 스칼라 유사 시스템으로 축소한다.
• weak-$ \star $ 수렴을 $ L^\infty $ 에서 적용하고 그론발의 부등식을 사용하여 $ \alpha $ 에 대한 해의 연속성을 증명함으로써, PE 신호의 변형에 대해 안정성이 유지됨을 보장한다.
• 질량이 전 Rank인 $ B $ 의 경우, 좌표 변환을 통해 시스템을 $ \dot{x} = Ax + \alpha u $ 로 축소하고, 여기서 $ u = -kx $ 라고 놓는다. 이때 변환된 시스템이 $ \dot{y} = -k\alpha y $ 를 만족함을 보이고, 지수 감쇠가 발생함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어 신호 $ \alpha(t) $ 가 지속적으로 자극되지만 간격 동안 0이 될 수 있는 경우, 고정된 선형 시간 불변 상태 피드백 $ K $ 가 선형 시스템을 안정화할 수 있는가?
• RQ2 정확한 $ \alpha(t) $ 의 스위칭 패tern을 실시간으로 알지 못하더라도, $ (A,B) $, $ \mu $, $ T $ 만을 사용하여 전역 점근적 안정성을 달성할 수 있는가?
• RQ3 지속적인 자극 조건이 충족되면, 시스템이 궤적의 일부 동안 비가역성이 되더라도 단일 고정 $ K $ 를 통해 안정화가 보장되는가?
• RQ4 스칼라 시스템에서의 평균화 직관은 다차원 시스템, 특히 평균화할 수 없는 동역학을 가진 더블 인테그레이터와 같은 시스템으로 확장 가능한가?
• RQ5 $ A $ 와 $ B $ 에 어떤 조건이 성립하면, PE 제어 신호 하에서 일반 안정화 이득 $ K $ 가 존재하는가?

주요 결과

• 중립적으로 안정된 $ A $ 의 경우, 모든 $ \alpha(t) \in \mathcal{G}(T,\mu) $ 에 대해 고정된 $ K $ 가 존재하여 닫힌 루프 시스템이 전역 점근적 안정성이 유지됨을 보장한다. 이는 신호의 스위칭 행동과 무관하다.
• 더블 인테그레이터 시스템의 경우, 고정된 $ K $ 가 존재하여 어떤 PE 신호 $ \alpha(t) $ 에 대해서도 균일하게 시스템을 안정화한다. 이는 $ \alpha(t) $ 가 간격 동안 0이 되더라도 성립한다.
• 질량이 2인 경우, 시스템 $ \dot{x} = Ax + \alpha Bu $ 는 고정된 $ K $ 를 통해 균일하게 안정화되며, 이 증명은 좌표 변환을 통해 스칼라 유사 시스템으로 축소하는 데 기반한다.
• 안정화 이득 $ K $ 는 $ (A,B) $, $ \mu $, $ T $ 에만 의존하며, $ \alpha(t) $ 의 구체적 형태와는 무관하여 신호의 비정상성에 대해 강건함을 보인다.
• 증명은 weak-$ \star $ 수렴에 따른 해의 균일 수렴을 확립하여, PE 신호의 변형에 대해 안정성이 유지됨을 보장한다.
• 논문은 스칼라 시스템에서의 단순 평균화 직관이 고차원 시스템으로 직접 확장되지 않음을 보여주지만, 고정된 $ K $ 가 여전히 PE 조건 하에서 안정화를 보장함을 밝혔다.