[논문 리뷰] Uniformly equicontinuous sets, right multiplier topology, and continuity of convolution

Matthias Neufang, Jan Pachl외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 20.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 8인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴act인 군에서 유한 라돈 측도의 공간 위의 UEB 위상이 오른쪽 승수 위상과 일치함을 증명하며, 복합 연산 연속성 연구를 위한 통합된 프레임워크를 제공한다. 국소적으로 컴act인 SIN 군에 대해, 유계인 왼쪽 균일 연속 함수들의 쌍대공간의 유계 부분집합에서 복합 연산이 공동으로 UEB 연속임을 입증하며, 인수 분해 기법과 위상군 이론을 활용한다.

ABSTRACT

The dual space of the C*-algebra of bounded uniformly continuous functions on a uniform space carries several natural topologies. One of these is the topology of uniform convergence on bounded uniformly equicontinuous sets, or the UEB topology for short. In the particular case of a topological group and its right uniformity, the UEB topology plays a significant role in the continuity of convolution. In this paper we derive a useful characterisation of bounded uniformly equicontinuous sets on locally compact groups. Then we demonstrate that for every locally compact group G the UEB topology on the space of finite Radon measures on G coincides with the right multiplier topology. In this sense the UEB topology is a generalisation to arbitrary topological groups of the multiplier topology for locally compact groups. In the final section we prove results about UEB continuity of convolution.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 컴act인 군에서 유계 균일 등연속 집합을 특성화하기 위해.
• 국소적으로 컴act인 군에 대해 M(G) 위의 UEB 위상이 오른쪽 승수 위상과 일치함을 보여주기 위해.
• 국소적으로 컴act인 SIN 군에 대해 LUC(G)*의 유계 부분집합에서 복합 연산의 공동 UEB 연속성을 확립하기 위해.
• 인수 분해 정리들을 활용하여 국소적으로 컴act 조건을 초월한 복합 연산 연속성의 이해를 확장하기 위해.
• 유계성 또는 SIN 구조 없이 공동 UEB 연속성이 실패할 수 있음을 보여주는 반례를 제공하기 위해.

제안 방법

• LUC(G) 내의 유계이고 균일 등연속 집합에서의 균일 수렴으로 정의된 UEB 위상을 사용한다.
• Cohen의 인수 분해 정리와 Neufang의 인수 분해 결과를 적용하여 L1(G)의 함수와 LUC(G)* 위의 작용을 분해한다.
• 왼쪽 및 오른쪽 이동과 하르 측도 성질을 통해 국소적으로 컴act인 SIN 군 내의 등연속 집합을 특성화한다.
• L1(G)가 LUC(G)*에서 약한* 밀도를 가지며, 왼쪽 복합 연산이 약한* 연속임을 이용한다.
• SIN 군 내의 중심 함수에 대한 유계 근사 항등원을 구성하기 위해 L1(G)의 중심, ZL1(G)을 사용한다.
• f = g ⋁ h로 인수 분해함으로써, g ⋁ mα와 h ⋁ nα의 노름 수렴을 활용하여 f ⋁ (mα ⋁ nα)가 f ⋁ (m ⋁ n)으로 노름 수렴함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 국소적으로 컴act 군에 대해 M(G) 위의 UEB 위상은 오른쪽 승수 위상과 일치하는가?
• RQ2 국소적으로 컴act인 SIN 군에 대해 LUC(G)*의 유계 부분집합에서 복합 연산은 공동으로 UEB 연속인가?
• RQ3 UEB 위상은 국소적으로 컴act가 아닌 위상군에서 복합 연산의 연속성을 특성화하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 복합 연산이 유계 집합에서 공동으로 UEB 연속성을 유지하는 데 필요한 군 G의 최소 위상 조건은 무엇인가?
• RQ5 유계성과 SIN 조건을 동시에 제거했을 때 공동 UEB 연속성이 실패하는 반례가 존재하는가?

주요 결과

• 모든 국소적으로 컴act 군 G에 대해 M(G) 위의 UEB 위상은 오른쪽 승수 위상과 일치한다.
• 모든 국소적으로 컴act인 SIN 군 G에 대해 LUC(G)*의 유계 부분집합에서 복합 연산은 공동으로 UEB 연속이다.
• UEB 위상과 LUC(G)-약한 위상은 M(G) 내의 양의 원소, 노름 원환체, LUC(G)-약한 컴팩트 집합에서 일치한다.
• 일반적으로 SIN 군이 아닌 경우 공동 UEB 연속성이 실패함: 증명을 위해 [0,3]의 증가하는 위상동형사상과 오른쪽 불변 메트릭을 사용한 반례를 구성한다.
• 반례에서 net yj는 UEB 수렴으로 y로 수렴하지만, m0 ⋁ yj는 LUC(G)-약한 위상에서 m0 ⋁ y로 수렴하지 않으며, 이는 공동 연속성의 실패를 보여준다.
• SIN 군에서의 공동 UEB 연속성 증명은 f ∈ L1(G)를 g ⋁ h로 인수 분해하고, g ⋁ mα와 h ⋁ nα의 노름 수렴을 이용한다.