[논문 리뷰] Unique determination of several coefficients in a fractional diffusion(-wave) equation by a single measurement

Yavar Kian, Zhiyuan Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 04.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 33인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 부분 경계에서의 단일 노이만 경계 측정을 통해 시간 분수형 확산(-파동) 방정식에서 분수형 차수, 확산 계수, 대류 장, 잠재 에너지 항과 같은 다수의 계수의 유일한 결정을 확립한다. 저자들은 복소 기하학적 해법과 경계 적분 항등식을 조합한 새로운 추론 기반으로 계수의 유일성을 증명하며, 부분 데이터를 가진 분수형 편미분방정식에 대한 역문제 이론을 확장한다.

ABSTRACT

We consider the inverse problem of determining different type of information about a diffusion process, described by ordinary or fractional diffusion equations stated on a bounded domain, like the density of the medium or the velocity field associated with the moving quantities from a single boundary measurement. This properties will be associated with some general class of time independent coefficients that we recover from a single Neumann boundary measurement, on some parts of the boundary, of the solution of our diffusion equation with a suitable boundary input, located on some parts of the boundary.

연구 동기 및 목표

• 시간 분수형 확산(-파동) 방정식에서 다수의 물리적 계수를 단일 경계 측정으로 식별하는 역문제를 다루는 것.
• 부분 경계 데이터를 가진 분수형 순서 PDE에 대해 계수 역문제의 유일성 결과를 확장하는 것.
• 한 개의 노이만 측정을 통해 분수형 차수 α, 밀도 ρ, 확산 계수 a, 대류 장 B, 잠재 에너지 c를 동시에 복원하는 것.
• 리만 다양체의 경우로 분석을 일반화하여 경계 데이터로부터 다각형의 구조와 계량을 고유하게 재구성하는 것.

제안 방법

• 카푸토 도함수를 가진 시간 분수형 확산 방정식에 적합한 복소 기하학적 해법을 활용한다.
• 경계의 일부에서 단일 노이만 경계 측정을 사용하며, 다른 부분에서는 딜리클레 입력을 적용한다.
• 해와 그 법선 도함수 간의 적분 항등식을 적용하여 계수 간의 관계를 유도한다.
• 유일한 계속성 성질과 다각형 상의 관련 타원형 연산자의 스펙트럼 분석에 의존한다.
• 정적 위상법과 점근 전개 기법을 사용하여 경계 데이터에서 계수 정보를 추출한다.
• 역문제를 딜리클레-노이만 맵의 등가성으로 환원하며, 쌍곡형 역문제에서의 결과를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 분수형 확산 방정식에서 다수의 계수를 단일 노이만 경계 측정으로 고유하게 결정할 수 있는가?
• RQ2 부분 경계 데이터에서 분수형 차수 α, 확산 계수 a, 대류 장 B, 잠재 에너지 c를 동시에 복원할 수 있는가?
• RQ3 분수형 확산 과정의 경계 측정으로부터 기저 리만 다각형의 구조와 계량을 고유하게 재구성할 수 있는가?
• RQ4 경계의 부분집합에서의 부분 데이터 존재가 분수형 PDE에서 계수 식별의 유일성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 분수형 차수 α는 부분 경계에서의 단일 노이만 경계 측정을 통해 고유하게 결정된다.
• 적절한 정규성 및 양성 조건 하에서 분수형 확산 방정식의 계수 ρ, a, B, c는 한 개의 경계 측정으로 고유하게 식별 가능하다.
• 다양체의 경우, 부분 딜리클레-노이만 맵으로부터 다각형 (M,g)과 잠재 에너지 c는 등장에 대해 고유하게 결정된다.
• 유일성 증명은 복소 기하학적 해법의 구성과 경계 측정에서 유도된 스펙트럼 데이터의 활용에 기반한다.
• 저자들은 경계 측정이 경계의 부분집합에 국한되어 있어도 유일성을 확보함으로써, 전통적인 전경계 데이터 가정의 한계를 극복한다.
• 이전의 고전적 확산(α=1)에 대한 유일성 결과를 부분 데이터를 가진 분수형 설정으로 일반화한다.