[논문 리뷰] Uniqueness of the fixed point of nonexpansive semidifferentiable maps

Marianne Akian, Stéphane Gaubert외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 07.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 39인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간에서 비팽창성 미분 가능하지 않은 사상의 고정점의 전역 유일성과 궤도의 기하학적 수렴성을 고정점에서의 준미분만으로 결정할 수 있음을 입증한다. 핵심 결과는 고정점에서의 Bonsall의 비선형 스펙트럼 반경이 수렴 속도를 제어하며, 이는 미분 가능 함수에서의 고전 결과를 비선형 미분 가능 함수로 일반화한 것으로, 0-합 스토케스틱 게임 및 힐버트/탐프슨 거리 설정에서 적용 가능하다.

ABSTRACT

We consider semidifferentiable (possibly nonsmooth) maps, acting on a subset of a Banach space, that are nonexpansive either in the norm of the space or in the Hilbert's or Thompson's metric inherited from a convex cone. We show that the global uniqueness of the fixed point of the map, as well as the geometric convergence of every orbit to this fixed point, can be inferred from the semidifferential of the map at this point. In particular, we show that the geometric convergence rate of the orbits to the fixed point can be bounded in terms of Bonsall's nonlinear spectral radius of the semidifferential. We derive similar results concerning the uniqueness of the eigenline and the geometric convergence of the orbits to it, in the case of positively homogeneous maps acting on the interior of a cone, or of additively homogeneous maps acting on an AM-space with unit. This is motivated in particular by the analysis of dynamic programming operators (Shapley operators) of zero-sum stochastic games.

연구 동기 및 목표

• 비선형 미분 가능 함수에서의 고전적 고정점의 유일성 및 수렴 결과를 바나흐 공간에서의 준미분 가능 함수로 확장한다.
• 힐베르트 또는 탐프슨 거리에서 비팽창성 사상이 전역적으로 고유한 고정점을 가지는 조건을 설정한다.
• 고정점에서의 준미분을 사용하여 궤도의 기하학적 수렴 속도를 특성화한다.
• 특히 코너 및 단위를 가진 AM-공간에서의 동차 함수에 대해 Nussbaum의 결과를 미분 가능 함수에서 준미분 가능 함수로 일반화한다.
• 0-합 스토케스틱 게임에서의 가치 반복 분석을 위한 이론적 기초를 제공한다.

제안 방법

• 비선형 사상이 노름, 힐베르트 거리 또는 볼록 코너에 의해 유도된 탐프슨 거리에서 비팽창성을 갖는지 분석한다.
• 비선형 사상의 분석을 가능하게 하기 위해 미분 가능성보다 약한 조건인 준미분 가능성을 사용한다.
• 고정점에서의 준미분에 대해 Bonsall의 코너 스펙트럼 반경을 적용하여 기하학적 수렴 속도의 상한을 구한다.
• 전역적인 고정점의 유일성을 보장하기 위해 비선형 Fredholm 유형의 컴팩트성 조건을 도입한다.
• 정상 코너의 내부에서의 동차 함수 및 단위를 가진 AM-공간에서의 덧셈 동차 함수에 대해 결과를 도출한다.
• 준미분을 사용하여 고정점 집합과 고유공간의 구조를 특성화하며, 특히 가감 상수를 제외한 고유벡터의 유일성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비팽창성 준미분 가능 사상의 고정점이 전역적으로 유일한가를 고정점에서의 준미분으로 결정할 수 있는가?
• RQ2 준미분에 어떤 조건이 성립하면 모든 궤도가 고정점으로 기하학적으로 수렴하는가?
• RQ3 Bonsall의 준미분 스펙트럼 반경은 스토케스틱 게임에서의 가치 반복의 수렴 속도와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 Nussbaum의 고전적 결과가 미분 가능 함수에서 준미분 가능 함수로 얼마나 일반화되는가?
• RQ5 동차 함수가 코너에서 정의된 경우, 고유벡터는 언제 가감 상수를 제외하고 고유한가?

주요 결과

• 준미분이 비자명한 고정점을 가지 않으며 비선형 Fredholm 유형의 컴팩트성 조건이 만족되면, 비팽창성 준미분 가능 사상의 고정점은 전역적으로 고유하다.
• Bonsall의 준미분 스펙트럼 반경이 1보다 작으면 모든 궤도가 고정점으로 기하학적으로 수렴한다.
• 수렴 속도는 Bonsall의 스펙트럼 반경으로 상한이 주어지며, 예시에서는 반노름 ω에서 최대 1/2의 속도를 보인다.
• 예시에서의 셰플리 연산자에 대해, 준미분이 상수 고정점을 제외하고는 다른 고정점을 가지 않기 때문에 가감 고유벡터는 상수를 제외하고 고유하다.
• 오차의 k제곱근의 상한은 limsup_{k→∞} ||F^k(x) - u||^{1/k} ≤ 1/2를 만족하며, 이는 지수적 감쇠를 나타낸다.
• 결과는 유한 차원에서 컴팩트성 조건이 자명하게 만족됨에도 불구하고 Nussbaum의 정리들을 준미분 가능 함수로 일반화한다.