[논문 리뷰] Uniqueness of the nonlinear Schrödinger Equation driven by jump processes

Erika Hausenblas, Anne de Bouard외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 흩어진 활동이 무한한 레비 과정에 의해 구동되는 확률적 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 코흐 경로 유일성, 법칙에 의한 유일성, 강한 해의 존재성을 증명한다. 이는 쿠르츠의 일반 양다와나베 이론에 기반한 추상적 프레임워크를 사용하여 이루어지며, 주요 기여는 국소적으로 컴acts하지 않는 포아송 난수 측도를 가진 SPDE에 대해 강한 유일성을 증명함으로써, 국소적으로 컴acts한 설정을 넘어서 고전적 유일성 결과를 확장하는 것이다.

ABSTRACT

In a recent paper by the first two named authors, existence of martingale solutions to a stochastic nonlinear Schrödinger equation driven by a Lévy noise was proved. In this paper, we prove pathwise uniqueness, uniqueness in law and existence of strong solutions to this problem using an abstract uniqueness result of Kurtz.

연구 동기 및 목표

• 시간에 독립적인 포아송 난수 측도에 의해 구동되는 확률적 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 경로 유일성과 법칙에 의한 유일성을 확립하는 것.
• 고전적 양다와나베 이론을 국소적으로 컴acts하지 않는 폴리쉬 공간 위의 포아송 난수 측도에 의해 구동되는 SPDE에 대해 확장하는 것.
• 점프 노이즈를 가진 확률적 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 강한 해의 존재성을 증명하는 것.
• 이전 결과들이 포아송 노이즈의 국소적으로 컴acts한 상태 공간을 요구하는 한계를 극복하는 것.

제안 방법

• 규칙적인 조건부 확률을 사용하는 대신, 보편적인 스코로호드 표현 정리에 기반한 쿠르츠의 추상 양다와나베 이론을 적응하는 것.
• 바나흐 공간에서 포아송 난수 측도에 의해 구동되는 확률적 진화 방정식의 추상적 프레임워크로 비선형 슈뢰딩거 방정식을 변환하는 것.
• 보정된 포아송 난수 측도와 강도 측도를 사용하여 온화한 해 표현식에서 확률적 적분을 정의하는 것.
• 폴리쉬 공간 위의 정수값을 가진 측도의 공간에 대한 필요한 가측성 및 위상적 성질을 약한 수렴 위상에 의해 확립하는 것.
• 콤팩트 집합의 수열 위에서 정수값을 가진 측도의 공간이 약한 수렴 위상 하에서 닫혀 있고 폴리쉬 공간임을 증명하는 것.
• 추상 유일성 결과를 SPDE의 온화한 해 표현식에 적용하여 경로 유일성과 강한 해 존재성을 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상태 공간이 국소적으로 컴acts하지 않는 경우에도, 활동이 무한한 레비 과정에 의해 구동되는 확률적 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 경로 유일성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 기저 포아송 난수 측도가 국소적으로 컴acts하지 않는 폴리쉬 공간 위에 정의된 SPDE에 대해 쿠르츠의 추상 양다와나베 이론이 적용 가능한가?
• RQ3 확률적 비선형 슈뢰딩거 방정식의 약한 해가 강한 해이자 경로적으로 고유한 해가 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 비국소적으로 컴acts한 설정에서 추상 확률적 분석 도구를 적용할 수 있도록 포아송 난수 측도의 공간을 어떻게 위상화할 수 있는가?
• RQ5 폴리쉬 공간 위의 정수값을 가진 측도의 공간이 콤팩트 집합의 수열을 고려할 때 약한 수렴 위상 하에서 닫혀 있고 폴리쉬 공간인가?

주요 결과

• 시간에 독립적인 포아송 난수 측도에 의해 구동되는 확률적 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 경로 유일성이 성립하며, 이는 상태 공간이 국소적으로 컴acts하지 않더라도 성립한다.
• 해에 대해 법칙에 의한 유일성이 확립되어, 모든 약한 해가 동일한 유한차원 분포를 가짐을 보장한다.
• 강한 해가 존재하며, 이는 주어진 확률 기초 위에서 해를 구성할 수 있음을 의미한다.
• 약한 수렴 위상이 부여된 폴리쉬 공간 위의 정수값을 가진 측도의 공간은 폴리쉬 공간이며, 이는 추상 확률적 분석 도구의 적용을 가능하게 한다.
• 쿠르츠의 양다와나베 이론의 추상 프레임워크가 비국소적으로 컴acts한 설정에서 점프 노이즈를 가진 SPDE에 성공적으로 적용되었으며, 이는 이론의 적용 범위를 이전 결과를 넘어서 확장한다.
• 증명은 정수값을 가진 측도 공간 위의 약한 수렴 위상의 보렐 가측성을 기반으로 하며, 이는 가산 기저의 열린 집합과 정규성 추론을 통해 확립된다.