[논문 리뷰] Univalence in locally cartesian closed infinity-categories

David Gepner, Joachim Kock|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 08.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 21인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 현존하는 국소적으로 카르테시안 폐쇄된 ∞-범주에서의 유일성 가족이 Lurie의 의미에서 유계 국소 클래스와 정확히 일치함을 증명하며, 이러한 가족들이 이러한 클래스들의 집합과 순서형으로 일치하는 부분순서집합을 이룬다는 것을 보여준다. 또한 모든 ∞-토포스가 정칙 기수로 색인된 유일성 가족의 계층을 갖는다는 것을 보이며, 국소적으로 카르테시안 국소화에 대한 오른쪽 수반 함자에 의해 유일성 가족이 유지된다는 것을 보이고, ∞-쿼시토포스와 모티빅 스페이스에 응용한다.

ABSTRACT

After developing the basic theory of locally cartesian localizations of presentable locally cartesian closed infinity-categories, we establish the representability of equivalences and show that univalent families, in the sense of Voevodsky, form a poset isomorphic to the poset of bounded local classes, in the sense of Lurie. It follows that every infinity-topos has a hierarchy of "universal" univalent families, indexed by regular cardinals, and that n-topoi have univalent families classifying (n-2)-truncated maps. We show that univalent families are preserved (and detected) by right adjoints to locally cartesian localizations, and use this to exhibit certain canonical univalent families in infinity-quasitopoi (certain infinity-categories of "separated presheaves", introduced here). We also exhibit some more exotic examples of univalent families, illustrating that a univalent family in an n-topos need not be (n-2)-truncated, as well as some univalent families in the Morel--Voevodsky infinity-category of motivic spaces, an instance of a locally cartesian closed infinity-category which is not an n-topos for any $0\leq n\leq\infty$. Lastly, we show that any presentable locally cartesian closed infinity-category is modeled by a combinatorial type-theoretic model category, and conversely that the infinity-category underlying a combinatorial type-theoretic model category is presentable and locally cartesian closed. Under this correspondence, univalent families in presentable locally cartesian closed infinity-categories correspond to univalent fibrations in combinatorial type-theoretic model categories.

연구 동기 및 목표

• 현존하는 국소적으로 카르테시안 폐쇄된 ∞-범주에서의 유일성 가족과 Lurie의 의미에서의 유계 국소 클래스 사이의 대응을 확립한다.
• 모든 ∞-토포스가 정칙 기수로 색인된 유일성 가족의 계층을 갖는다는 것을 보인다.
• 국소적으로 카르테시안 국소화에 대한 오른쪽 수반 함자에 의해 유일성 가족이 유지되고 탐지된다는 것을 보여준다.
• ∞-쿼시토포스에서 표준 유일성 가족을 구성하고, ∞-토포스를 초월한 예시를 제공하며, 특히 Morel–Voevodsky의 모티빅 ∞-범주에서의 예를 포함한다.
• ∞-범주에서의 유일성 가족을 조합론적 유형 이론 모델 범주에서의 유일성 피브레이션과 연결한다.

제안 방법

• 현존하는 국소적으로 카르테시안 폐쇄된 ∞-범주에서의 국소적으로 카르테시안 국소화 이론을 개발한다.
• 슬라이스 범주에서 동치의 대상은 유일성 가족의 보편 성질을 이용해 표현한다.
• Lurie의 유계 국소 클래스 개념을 사용하여, 부분순서집합의 순서형 일치를 통해 유일성 가족을 분류한다.
• 소형 ∞-범주 위의 프레시프의 모델 범주에 왼쪽 Bousfield 국소화를 적용하여 조합론적 유형 이론 모델 범주를 구성한다.
• 원래 범주가 국소적으로 카르테시안 폐쇄되어 있을 경우, 프레시프 범주의 왼쪽 Bousfield 국소화가 국소적으로 카르테시안 폐쇄됨을 이용한다.
• 호모토피 범주와 강화된 프레시프를 통해 ∞-범주 수준에서의 유일성과 모델 범주 수준에서의 유일성 간의 동치를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 현존하는 국소적으로 카르테시안 폐쇄된 ∞-범주에서의 유일성 가족은 Lurie의 의미에서의 유계 국소 클래스와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 모든 ∞-토포스가 정칙 기수로 색인된 유일성 가족의 계층을 갖는다는 것을 입증할 수 있는가?
• RQ3 국소적으로 카르테시안 국소화에 대한 오른쪽 수반 함자들이 유일성 가족을 유지하거나 탐지하는가?
• RQ4 ∞-쿼시토포스에서의 표준 유일성 가족의 예는 무엇이며, ∞-토포스에서의 것과 어떻게 다를까?
• RQ5 Morel–Voevodsky의 모티빅 ∞-스페이스 범주에서의 유일성 가족은 n-토포스에서의 것과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 현존하는 국소적으로 카르테시안 폐쇄된 ∞-범주에서의 유일성 가족은 유계 국소 클래스와 일대일 대응되며, 이러한 클래스들의 부분순서집합과 순서형으로 일치하는 부분순서집합을 이룬다.
• 모든 ∞-토포스는 정칙 기수로 색인된 유일성 가족의 계층을 갖는다. 각 가족은 특정 단절 수준의 사상들을 분류한다.
• n-토포스는 (n−2)-단절된 사상들을 분류하는 유일성 가족을 갖는다. 이는 ∞-토포스에서 알려진 행동을 일반화한다.
• 유일성 가족은 국소적으로 카르테시안 국소화에 대한 오른쪽 수반 함자에 의해 유지되고 탐지되며, 새로운 맥락에서 유일성 가족을 구성하는 데 기여한다.
• 표준 유일성 가족은 ∞-쿼시토포스에 존재한다. 이들은 분리된 프레시프의 ∞-범주로서, ∞-토포스를 초월한 새로운 예를 제공한다.
• Morel–Voevodsky의 모티빅 스페이스 ∞-범주는 n-토포스가 되지 않는 국소적으로 카르테시안 폐쇄된 ∞-범주이지만, 여전히 유일성 가족을 갖는다.