[논문 리뷰] Universal compiling and (No-)Free-Lunch theorems for continuous variable quantum learning

Tyler Volkoff, Zoë Holmes외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 03.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 77인용 수 37

한 줄 요약

이 논문은 가우시안 측정과 얽힌 자원 상태를 사용하여 임의의 유니터리 연산을 학습하는 데 universal하고 짧은 깊이의 연속 변수(CV) 양자 컴파일링 알고리즘을 소개한다. 양자 학습 효율성의 기본 한계를 제공하는, 훈련 상태의 얽힘이 요구되는 훈련 데이터를 지수적으로 감소시킴을 보여주는 No-Free-Lunch(NFL) 정리들을 유도한다. 일반 유니터리 연산의 경우 두 모드 스위치된 상태를 사용할 때, 훈련 데이터 요구량은 지수적으로 감소하며, 가우시안 유니터리의 경우 얽힌 코herent-Fock 상태를 사용할 때 선형 감소를 보인다. 이는 CV 설정에서의 양자 학습 효율성에 대한 기초적인 경계를 제공한다.

ABSTRACT

Quantum compiling, where a parameterized quantum circuit is trained to learn a target unitary, is an important primitive for quantum computing that can be used as a subroutine to obtain optimal circuits or as a tomographic tool to study the dynamics of an experimental system. While much attention has been paid to quantum compiling on discrete variable hardware, less has been paid to compiling in the continuous variable paradigm. Here we motivate several, closely related, short depth continuous variable algorithms for quantum compilation. We analyse the trainability of our proposed cost functions and numerically demonstrate our algorithms by learning arbitrary Gaussian operations and Kerr non-linearities. We further make connections between this framework and quantum learning theory in the continuous variable setting by deriving No-Free-Lunch theorems. These generalization bounds demonstrate a linear resource reduction for learning Gaussian unitaries using entangled coherent-Fock states and an exponential resource reduction for learning arbitrary unitaries using Two-Mode-Squeezed states.

연구 동기 및 목표

• 연속 변수(CV) 양자 시스템을 위한 universal하고 짧은 깊이의 양자 컴파일링 알고리즘을 개발하여 임의의 목표 유니터리 연산을 학습할 수 있도록 하는 것.
• 이산 변수 시스템에 비해 CV 양자 컴파일링을 위한 체계적인 프레임워크가 부족한 문제를 다루는 것.
• No-Free-Lunch(NFL) 정리를 통해 CV 설정에서의 양자 학습에 대한 기본 한계를 설정하는 것.
• 훈련 상태의 얽힘이 요구되는 훈련 데이터를 극적으로 감소시켜 학습 효율성에서 '무료 점심'을 가능하게 함을 보여주는 것.
• NFL 정리로부터 유도된 분석 일반화 경계를 통해 제안된 비용 함수를 양자 학습 이론과 연결하는 것.

제안 방법

• 목표 유니터리와 컴파일된 유니터리 간의 힐베르트-스미스 내적을 기반으로 한 비용 함수를 사용하는 변분 양자 컴파일링 프레임워크를 제안한다.
• 특수한 프로브 상태가 필요 없이, 가우시안 측정과 코herent 상태, 포크 상태, 두 모드 스위치된 상태와 같은 자원 상태를 사용하여 효율적인 학습을 가능하게 한다.
• CV 설정에서 벨 상태의 리코일트 성질을 활용하여 제어된 스위프 회로를 통해 유니터리 허상도를 추정하는 비용 함수를 도입한다.
• 무작위 유니터리에 대한 기대 위험을 분석하여 CV 학습을 위한 NFL 정리를 도출한다. 이는 하어-분포를 가진 정규직교 행렬과 순수 가우시안 상태의 공분산 행렬에 대한 적분을 사용한다.
• 벡터화 연산자와 등장성 성질을 사용하여 행렬 노름을 벡터 노름으로 변환하여, 정규직교 군 위에서 기대 위험을 분석적으로 계산할 수 있도록 한다.
• 군 통합 기법(예: O(2m)에 대한 하어 측도)을 적용하여 정규직교 행렬을 포함하는 이차 형식의 기대값을 계산하고, 기대 위험 스케일링에 대한 닫힌 형태의 표현식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속 변수 양자 시스템을 위한 universal하고 짧은 깊이의 양자 컴파일링 알고리즘을 개발하여 임의의 유니터리 연산을 학습할 수 있는가?
• RQ2 CV 컴파일링을 위한 제안된 비용 함수의 학습 가능성은 자원 상태와 측정 기법의 선택에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 CV 유니터리 학습의 기본 한계는 무엇이며, 훈련 데이터 포인트의 수에 따라 어떻게 스케일링되는가?
• RQ4 훈련 상태의 얽힘이 CV 설정에서 알려지지 않은 유니터리를 학습하기 위해 요구되는 훈련 데이터를 어느 정도 감소시킬 수 있는가?
• RQ5 유도된 NFL 정리는 CV 양자 학습에서 일반화를 위한 최소 훈련 데이터 요구량을 어떻게 정량화하는가?

주요 결과

• 제안된 CV 컴파일링 알고리즘은 수치 시뮬레이션을 통해 단일 모드 가우시안 유니터리, 일반화된 빔스플리터, 킬러 비선형성을 높은 정밀도로 성공적으로 학습한다.
• 가우시안 유니터리 학습의 경우, 분리된 상태 대비 얽힌 코herent-Fock 상태를 사용할 때 훈련 데이터 요구량이 선형적으로 감소하며, 이는 위험 표현식에 |S| 스케일링을 보여주는 NFL 정리에 의해 입증된다.
• 임의의 유니터리 학습의 경우, 두 모드 스위치된 상태를 사용할 때 훈련 데이터 요구량이 지수적으로 감소하며, 위험은 (D−D⁻¹)²|S|² 스케일링을 보여, 훈련 세트 크기의 제곱에 의존함을 나타낸다.
• 가우시안 훈련 데이터에 대한 NFL 정리의 기대 위험은 D²−D⁻² / (4 log D)에서 보정 항(비례 항이 |S|²에 비례)을 뺀 형태로 스케일링되며, 더 큰 훈련 세트가 일반화 오차를 크게 감소시킴을 보여준다.
• NFL 정리는 훈련 상태의 얽힘이 최적의 상태 준비 조건 하에서 위험 감소가 |S|²에 비례할 뿐만 아니라 |S|에 비례하지 않는 조건에서 지수적 데이터 요구량 감소를 가능하게 하여 '무료 점심'을 제공함을 보여준다.
• 분석적 프레임워크는 제안된 비용 함수가 NFL 정리로부터 도출된 최소 데이터 요구량과 일치하므로, 양자 학습 이론에 의해 잘 정당화됨을 확인한다.