[논문 리뷰] Universal continuous bilinear forms for compactly supported sections of Lie algebra bundles and universal continuous extensions of certain current algebras

Jan Milan Eyni|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 31.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 σ-콤���한 다양체 위의 리 대수 번들의 컴팩트 지지 섹션의 리 대수에 대해 일반적인 연속 불변 이형식을 구성하고, 국소 볼록 대수 A가 국소 단위를 가진 완비 국소 볼록 대수들의 귀납적 극한인 경우, 형태 $A \otimes \mathfrak{g}$ 의 커런트 대수에 대해 일반적인 연속 중심 확장을 수립한다. 주요 기여는 Janssens와 Wockel이 사용한 코사이클의 연속성과 보편성을 엄밀하게 정당화하며, 이는 이전 결과를 $C^\infty_c(M, \mathfrak{g})$ 를 특수한 경우로 포함하도록 확장한다.

ABSTRACT

We construct a universal continuous invariant bilinear form for the Lie algebra of compactly supported sections of a Lie algebra bundle in a topological sense. Moreover we construct a universal continuous central extension of a current algebra that is the tensor product of a finite-dimensional Lie algebra g and a certain topological algebra A. In particular taking A as the compactly supported smooth functions on a sigma-compact manifold M, we obtain a more detailed justification for a recent result of Janssens and Wockel concerning a universal extension for the Lie algebra of compactly supported g-valued smooth functions on M.

연구 동기 및 목표

• σ-콤팩트 다양체 $M$ 위의 리 대수 번들 $\mathfrak{K}$ 의 컴팩트 지지 미분 가능 섹션의 리 대수 $C^\infty_c(M, \mathfrak{K})$ 에 대해 보편적인 연속 불변 이형식을 구성한다.
• Janssens와 Wockel의 $C^\infty_c(M, \mathfrak{g})$ 의 중심 확장을 위한 보편 코사이클의 연속성에 대한 엄밀한 증명을 제공한다.
• 국소 볼록 대수 $A$ 가 국소 단위를 가진 완비 국소 볼록 대수들의 귀납적 극한인 경우, 커런트 대수 $A \otimes \mathfrak{g}$ 에 대한 보편적인 연속 중심 확장을 일반화한다.
• 대수 $A$ 가 $C^\infty_c(M)$ 를 포함함을 보여, 컴팩트 지지 미분 가능 함수의 경우를 포함한다.

제안 방법

• 보편적인 연속 불변 이형식을 $V^{T}_{\mathfrak{g}} = S^2(\mathfrak{g}) / \overline{\text{span}}\{[x,y]\vee z - x\vee[y,z]\}$ 의 몫을 통해 구성하고, 번들 $V(\mathfrak{K})$ 를 사용해 섹션으로 올린다.
• 값이 $V(\mathfrak{K})$ 에 있는 이형식 $\kappa_{\mathfrak{g}}(\eta, \zeta) = \kappa_{\mathfrak{g}} \circ (\eta, \zeta)$ 를 $C^\infty_c(M, \mathfrak{K}) \times C^\infty_c(M, \mathfrak{K})$ 에 정의한다.
• 값이 $\Omega^1_c(M, V_{\mathfrak{g}})/d(C^\infty_c(M, V_{\mathfrak{g}}))$ 에 있는 표준 코사이클 $\omega(f,g) = [\kappa_{\mathfrak{g}}(f, dg)]$ 를 사용하여 보편적인 연속 2-코사이클을 정의한다.
• 코사이클 $\omega$ 의 연속성을 증명하기 위해, $\omega$ 가 몫 공간 $\Omega^1_c(M, V_{\mathfrak{g}})/d(C^\infty_c(M, V_{\mathfrak{g}}))$ 로의 연속 함수로 작동함을 검증한다.
• 모든 연속 2-코사이클이 연속 선형 사상에 의해 유일하게 $\omega$ 를 통해 인수화됨을 보여, 확장을 보편성으로 확립한다.
• 국소 볼록 공간에 대한 Whitehead 정리를 사용하여, 단순 리 대수 $\mathfrak{g}$ 에 대해 $H^2_{ct}(\mathfrak{g}, V) = 0$ 임을 보이고, 이는 코사이클이 $\mathfrak{g}$ 에서 내부임을 뜻하며 확장의 보편성에 기여한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 σ-콤팩트 다양체 $M$ 위의 리 대수 번들 $\mathfrak{K}$ 의 컴팩트 지지 섹션의 리 대수 $C^\infty_c(M, \mathfrak{K})$ 에 대해 보편적인 연속 불변 이형식이 존재하는가?
• RQ2 $\Omega^1_c(M, V_{\mathfrak{g}})/d(C^\infty_c(M, V_{\mathfrak{g}}))$ 에 값이 있는 코사이클 $\omega(f,g) = [\kappa_{\mathfrak{g}}(f, dg)]$ 는 $C^\infty_c(M, \mathfrak{g})$ 에 대해 연속적이고 보편적인가?
• RQ3 국소 볼록 대수 $A$ 가 국소 단위를 가진 완비 국소 볼록 대수들의 귀납적 극한인 경우, 커런트 대수 $A \otimes \mathfrak{g}$ 의 보편적인 연속 중심 확장을 확장할 수 있는가?
• RQ4 Janssens와 Wockel의 $C^\infty_c(M, \mathfrak{g})$ 에 대한 보편 확장의 구성에서, 이전에 누락되었던 연속성 증명이 가능할까?
• RQ5 보편 확장이 존재하는 대수 $A$ 의 범주가 $\sigma$-콤팩트 다양체 $M$ 에 대해 $C^\infty_c(M)$ 를 포함할 정도로 충분히 넓은가?

주요 결과

• 형식 $\kappa_{\mathfrak{g}}$ 를 일반 섹션의 일반 섹션에 대해 섹션의 각 섹션에 대해 국소적으로 적용함으로써, $C^\infty_c(M, \mathfrak{K})$ 에 값이 있는 보편적인 연속 불변 이형식이 $V(\mathfrak{K})$ 에서 구성된다.
• 값이 $\Omega^1_c(M, V_{\mathfrak{g}})/d(C^\infty_c(M, V_{\mathfrak{g}}))$ 에 있는 코사이클 $\omega(f,g) = [\kappa_{\mathfrak{g}}(f, dg)]$ 는 연속성이 입증되어, Janssens와 Wockel의 원래 구성에서 누락되었던 격차를 메운다.
• 국소 단위를 가진 완비 국소 볼록 대수들의 귀납적 극한인 대수 $A$ 에 대해, 커런트 대수 $A \otimes \mathfrak{g}$ 의 보편적인 연속 중심 확장이 확립된다. 이 범주에는 $\sigma$-콤팩트 다양체에 대해 $C^\infty_c(M)$ 가 포함된다.
• 모든 연속 2-코사이클이 연속 선형 사상에 의해 유일하게 $\omega$ 를 통해 인수화됨을 보여, 확장은 보편적이다.
• 보편성의 증명은 단순 리 대수 $\mathfrak{g}$ 에 대해 $H^2_{ct}(\mathfrak{g}, V)$ 가 0임을 보장하는 국소 볼록 공간에 대한 Whitehead 정리에 기반한다.
• 구성은 Janssens–Wockel 코사이클이 실제로 보편적이고 연속적임을 확인하며, 그 결과에 대한 완전한 정당성을 제공한다.