[논문 리뷰] Universal Simulation of Hamiltonians Using a Finite Set of Control Operations

Paweł Wocjan, Martin Roetteler외 2명|arXiv (Cornell University)|2001. 09. 13.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 추적 없는 연산자 위에서 그룹의 조작이 기약적일 경우, 유한한 단위 조작 집합을 사용하여 임의의 양자 해밀토니안을 보편적으로 시뮬레이션할 수 있음을 보여준다. 주요 기여는 기약적 수반 표현을 바탕으로 한 군 이론적 기준으로, 평균 해밀토니안 기법을 통해 임의의 해밀토니안을 보편적으로 시뮬레이션할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

Any quantum system with a non-trivial Hamiltonian is able to simulate any other Hamiltonian evolution provided that a sufficiently large group of unitary control operations is available. We show that there exist finite groups with this property and present a sufficient condition in terms of group characters. We give examples of such groups in dimension 2 and 3. Furthermore, we show that it is possible to simulate an arbitrary bipartite interaction by a given one using such groups acting locally on the subsystems.

연구 동기 및 목표

• 유한한 단위 조작 집합이 임의의 양자 해밀토니안을 보편적으로 시뮬레이션할 수 있는 조건을 확립하기 위해.
• 진짜 해밀토니안이 알려져 있지 않은 상황에서 임의의 선형 사상이 해밀토니안에 대해 시뮬레이션 가능한 문제를 해결하기 위해.
• 큐비트 및 큐트릿 시스템에서 보편 시뮬레이션을 위한 유한한 변환기 군이 존재함을 보여주기 위해.
• 이중계 시스템으로의 프레임워크 확장을 통해 국소 조작과 고정된 비자명한 상호작용을 이용해 어떤 상호작용도 시뮬레이션할 수 있도록 하기 위해.
• 표현 이론과 군의 특성을 사용하여 이러한 조작 군의 군 이론적 특성화를 제공하기 위해.

제안 방법

• 자연적 진동 $ \exp(-iHt) $ 와 빠른 단위 조작 $ V_i $ 를 번갈아 사용하여 효과적 해밀토니안 $ \bar{H} = \sum_i \tau_i U_i^\top H U_i $ 을 생성하는 방식으로 보편 시뮬레이션을 수학적으로 정의한다.
• 추적 없는 연산자 위에서 수반 작용이 기약적인 유한한 단위군인 '변환기 군'의 개념을 도입한다.
• 군 표현의 특성 이론을 사용하여 유한 군이 보편 변환기 군이 되는 충분 조건을 유도한다.
• 기존의 SU(d)의 유한 부분군을 사용하여 차원 2와 3에서 이러한 군의 구체적 예를 구성한다.
• 국소 변환기 군이 각 부분계에서 존재할 경우, 비자명한 국소 및 결합 항을 가진 임의의 이중계 해밀토니안이 다른 어떤 해밀토니안도 시뮬레이션할 수 있음을 증명한다.
• 평균 해밀토니안 방법을 적용하여 해밀토니안에 대한 임의의 선형 변환 $ L(H) $, 즉 역전치와 분리도를 시뮬레이션한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 유한한 단위 조작 집합이 임의의 해밀토니안 진동을 보편적으로 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ2 유한한 단위군이 해밀토니안에 대한 임의의 선형 사상 시뮬레이션에 충분한 군 이론적 조건은 무엇인가?
• RQ3 임의의 이중계 상호작용이 국소 조작만을 사용하여 다른 어떤 상호작용도 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ4 임의의 해밀토니안을 시뮬레이션하거나 알려지지 않은 해밀토니안을 역전치하기 위해 필요한 최소 복잡도(작업 수)는 얼마인가?
• RQ5 평균 해밀토니안 형식은 어떻게 일반적인 해밀토니안 변환을 위해 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 유한한 단위 조작 군 $ G $ 가 임의의 해밀토니안을 보편적으로 시뮬레이션할 수 있는 것은, 그 수반 작용이 추적 없는 연산자 공간 위에서 기약적일 때에 한하여 성립한다.
• 이러한 군의 존재는 군의 특성에 대한 조건으로 기술되며, 수반 표현의 특성이 기약적이어야 한다는 조건을 만족해야 한다.
• 차원 2와 3에서 이러한 유한한 변환기 군이 존재하며, 이는 이들 경우의 보편 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• d차원 시스템에서 알려지지 않은 해밀토니안을 끄기 위해 최소한 $ d^2 $ 개의 조작이 필요하며, 분리의 최소 복잡도 역시 $ d^2 $ 이며, 이는 아름다운 오차 기저를 통해 달성된다.
• 모르는 해밀토니안의 시간 역전은 최소 $ d-1 $ 개의 조작과 최대 $ d^2 - 1 $ 개의 조작이 필요하며, 일반적인 시뮬레이션의 경우 복잡도 하한은 $ d^2 - 1 $ 이다.
• 이중계 시스템에서, 국소 및 결합 항이 모두 비자명한 비자명한 상호작용 $ H $ 는 각 부분계에서 국소 변환기 군이 존재할 경우, 다른 어떤 해밀토니안 $ \tilde{H} $ 도 시뮬레이션할 수 있다.