[논문 리뷰] Complexity classification of local Hamiltonian problems

Toby S. Cubitt, Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 13.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 54인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 2-로컬 큐비트 하미르토니안 문제의 완전한 복잡도 분류를 제공하며, 상호작용 항의 고정된 집합에 대해 문제는 항상 P, NP-완전, 횡방향 자기장 이징 모델과 동치, 또는 QMA-완전임을 보여준다. 주요 기여는 슈에퍼의 이분법 정리에 대한 양자적 해당 개념으로, 이러한 문제들에 대해 정확한 삼분법(한 클래스는 이징 모델과 동치임)을 수립하며, 1-로컬 항이 없는 헤이젠베르크 및 XY 모델에 대한 QMA-완전성의 첫 번째 증명을 포함한다.

ABSTRACT

The calculation of ground-state energies of physical systems can be formalised as the k-local Hamiltonian problem, which is the natural quantum analogue of classical constraint satisfaction problems. One way of making the problem more physically meaningful is to restrict the Hamiltonian in question by picking its terms from a fixed set S. Examples of such special cases are the Heisenberg and Ising models from condensed-matter physics. In this work we characterise the complexity of this problem for all 2-local qubit Hamiltonians. Depending on the subset S, the problem falls into one of the following categories: in P; NP-complete; polynomial-time equivalent to the Ising model with transverse magnetic fields; or QMA-complete. The third of these classes has been shown to be StoqMA-complete by Bravyi and Hastings. The characterisation holds even if S does not contain any 1-local terms; for example, we prove for the first time QMA-completeness of the Heisenberg and XY interactions in this setting. If S is assumed to contain all 1-local terms, which is the setting considered by previous work, we have a characterisation that goes beyond 2-local interactions: for any constant k, all k-local qubit Hamiltonians whose terms are picked from a fixed set S correspond to problems either in P; polynomial-time equivalent to the Ising model with transverse magnetic fields; or QMA-complete. These results are a quantum analogue of Schaefer's dichotomy theorem for boolean constraint satisfaction problems.

연구 동기 및 목표

• 고정된 집합 S에서 상호작용을 취하는 2-로컬 큐비트 하미르토니안 문제의 계산 복잡도를 분류하는 것.
• 이러한 문제가 효율적으로 해결 가능한지(P), NP-완전인지, 횡방향 자기장 이징 모델과 동치인지, 또는 QMA-완전인지 결정하는 것.
• 기존 결과를 확장하여, 1-로컬 항이 없더라도 물리적으로 의미 있는 모델인 헤이젠베르크 및 XY 상호작용에 대해 QMA-완전성을 증명하는 것.
• 고정된 상호작용 집합을 가진 k-로컬 하미르토니안에 대해 이분법 유사 분류를 수립하여 2-로컬 이상의 경우로 일반화하는 것.

제안 방법

• 저자들은 상호작용 항을 고정된 집합 S로 제한하고 임의의 가중치를 가진 k-로컬 하미르토니안 문제의 복잡도를 분석한다.
• 대칭 상태와 스핀-싱글릿 투영의 사용을 포함한 감소 기법과 대수적 기법을 사용하여 고에너지 상태를 특성화한다.
• 라이브-매티스 정리와 표현 이론을 적용하여 완전 이분 그래프 위의 헤이젠베르크 모델에 대해 고유성과 에너지 상한을 증명한다.
• 브라비와이와 헤스팅스의 결과를 활용하여 세 번째 복잡도 클래스를 분류한다.
• 횡방향 자기장 이징 모델이 특정 중간 복잡도 클래스에 대해 완전함을 증명하고, 페론-프로베니우스의 추론을 사용하여 고에너지 상태의 고유성을 보여준다.
• 모든 고정된 S를 가진 k-로컬 하미르토니안 문제들이 P, 이징 모델과 동치, 또는 QMA-완전 중 하나임을 보여줌으로써 분류를 k-로컬 하미르토니안으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2-로컬 큐비트 상호작용 집합 S에 대해 국소 하미르토니안 문제가 P, NP-완전, 또는 QMA-완전이 되는 경우는 언제인가?
• RQ2 S에 1-로컬 항이 존재하지 않을 때도 헤이젠베르크 및 XY 모델이 QMA-완전임을 증명할 수 있는가?
• RQ3 국소 하미르토니안의 맥락에서 제약 만족 문제에 대해 슈에퍼의 이분법 정리에 해당하는 양자적 해당 개념이 존재하는가?
• RQ4 횡방향 자기장 이징 모델의 정확한 복잡도는 무엇이며, 다른 클래스와의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ5 이 분류는 2-로컬을 초월하여 고정된 상호작용 집합을 가진 k-로컬 하미르토니안으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 고정된 집합 S를 가진 2-로컬 큐비트 상호작용에 대한 국소 하미르토니안 문제는 항상 P, NP-완전, 횡방향 자기장 이징 모델과 동치, 또는 QMA-완전 중 하나이다.
• 1-로컬 성분이 없더라도 헤이젠베르크 및 XY 상호작용은 2-로컬 항에 국한되어 QMA-완전이다.
• 횡방향 자기장 이징 모델은 특정 중간 복잡도 클래스에 대해 완전하며, 이 클래스는 기존에 StoqMA-완전으로 알려져 있다.
• 고정된 집합 S에서 상호작용을 취하는 k-로컬 하미르토니안 문제의 경우, 문제의 복잡도는 항상 P, 횡방향 자기장 이징 모델과 동치, 또는 QMA-완전 중 하나이다.
• 라이브-매티스 모델(완전 이분 그래프 위의 헤이젠베르크 모델)의 고에너지 상태는 유일하며 에너지는 −n(n+2)임을 증명하였으며, 이는 스핀 대칭성과 페론-프로베니우스 추론을 통해 이루어졌다.
• 이 논문은 고정된 상호작용 집합을 가진 모든 k-로컬 큐비트 하미르토니안에 대해 완전한 분류를 수립하였으며, 2-로컬을 초월하는 일반화된 상호작용으로까지 확장하였다.