[논문 리뷰] Universal Topological Data for Gapped Quantum Liquids in Three Dimensions and Fusion Algebra for Non-Abelian String Excitations

Heidar Moradi, Xiao-Gang Wen|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|2014. 04. 17.

Quantum optics and atomic interactions인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 3차원의 고정된 양자 액체에서의 위상적 순서를 완전히 기술하는 데 있어, 공간 변환에 따른 기본 상태 웨이브 함수의 겹침에 의해 코딩된 보편적인 위상적 데이터를 제안한다. 3-torus에서 $SL(3,\mathbb{Z})$ 표현을 연구함으로써, 한 공간 차원을 컴actification하여 2차원으로의 차원 감소를 통해 비아벨 스트링 진동자의 융합 및 빛개짐 통계가 드러나며, 이는 고차원으로 일반화된 모듈러 $S$ 및 $T$ 행렬을 제공한다.

ABSTRACT

Recently we conjectured that a certain set of universal topological quantities characterize topological order in any dimension. Those quantities can be extracted from the universal overlap of the ground state wave functions. For systems with gapped boundaries, these quantities are representations of the mapping class group $MCG(\mathcal M)$ of the space manifold $\mathcal M$ on which the systems lives. We will here consider simple examples in three dimensions and give physical interpretation of these quantities, related to fusion algebra and statistics of particle and string excitations. In particular, we will consider dimensional reduction from 3+1D to 2+1D, and show how the induced 2+1D topological data contains information on the fusion and the braiding of non-Abelian string excitations in 3D. These universal quantities generalize the well-known modular $S$ and $T$ matrices to any dimension.

연구 동기 및 목표

• 기본 상태 웨이브 함수 겹침에서 유도된 보편적인 위상적 데이터를 사용하여 임의의 차원에서 위상적 순서를 기술하는 일반적인 프레임워크를 수립하기 위해.
• 3-torus에서의 $SL(3,\mathbb{Z})$ 표현이 3D 고정된 양자 액체의 위상적 불변량을 어떻게 코딩하는지에 대한 물리적 해석을 조사하기 위해.
• 한 공간 차원을 컴 pactify하여 3D에서 2D로의 차원 감소를 통해 비아벨 스트링 진동자의 융합 및 빛개짐 통계가 어떻게 드러나는지 보여주기 위해.
• $SL(3,\mathbb{Z})$ 표현이 $SL(2,\mathbb{Z})$ 부분 표현으로 분해될 때, 기대되는 2D anyon의 전체 위상적 데이터가 어떻게 코딩되는지 보여주기 위해.
• 특정 다양체인 $S^2 \times S^1$ 및 $T^3$에서의 위상적 degeneracy를 사용하여 게이지 이론 모델에서 입자 및 스트링 종류의 수를 유도하기 위해.

제안 방법

• 3-torus $T^3$의 자동형사 $A$에 대해 보편적인 위상적 겹침 $\langle \psi_\alpha | \hat{\mathcal{O}}_A | \psi_\beta \rangle = e^{-\alpha V + o(1/V)} M^{A}_{\alpha\beta}$ 를 계산하여 $SL(3,\mathbb{Z})$ 표현을 도출한다.
• 매핑 클래스 군 $\texttt{MCG}(T^3) = SL(3,\mathbb{Z})$ 를 사용하여 국소적 외란에 강건한 위상적 불변량을 정의한다.
• 한 공간 차원을 컴 pactify하여 3D 위상적 순서 $\mathcal{C}^{3D}$ 를 2D 위상적 순서 $\mathcal{C}^{2D}_i$ 의 직합으로 매핑한다.
• $SL(3,\mathbb{Z})$ 표현을 $SL(2,\mathbb{Z})$ 부분군으로 제한하여 2D 위상적 데이터를 추출하고, 분해 규칙 $R^{3D} = \bigoplus_i R^{2D}_i$ 를 도출한다.
• $S^2 \times S^1$에서의 위상적 degeneracy를 통해 입자 종류를 식별하며, 이때 비틀림된 기본 상태의 수는 게이지 군 $G$ 의 공轭류의 수와 같다.
• 차원 감소를 통해 확보된 2D anyon 데이터와 3D에서의 스트링 및 입자 통계를 연결하며, 비아贝尔 빛개짐 및 융합 법칙을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3D 고정된 양자 액체에서 보편적인 위상적 불변량은 어떻게 기본 상태 웨이브 함수 겹침에서 공간 변환에 의해 추출될 수 있는가?
• RQ2 3-torus에서 매핑 클래스 군의 $SL(3,\mathbb{Z})$ 표현이 입자 및 스트링 진동자 측면에서 물리적으로 어떤 의미를 갖는가?
• RQ3 한 공간 차원을 컴 pactify하여 3D에서 2D로의 차원 감소는 어떻게 비아벨 스트링 진동자의 융합 및 빛개짐 통계를 드러내는가?
• RQ4 $SL(3,\mathbb{Z})$ 표현이 $SL(2,\mathbb{Z})$ 부분 표현으로 분해될 때, 기대되는 2D anyon의 위상적 데이터와의 관계는 무엇인가?
• RQ5 특정 다양체인 $S^2 \times S^1$에서의 위상적 degeneracy를 통해 3D 위상적 순서에서의 입자 및 스트링 종류의 수는 어떻게 결정될 수 있는가?

주요 결과

• $SL(3,\mathbb{Z})$ 표현은 3-torus $T^3$에서 3D 고정된 양자 액체의 보편적인 위상적 데이터를 코딩하며, 생성자 $\hat{\tilde{S}}$ 와 $\hat{\tilde{T}}$ 는 토러스 사이클의 순환 치환 및 비틀림 변환에 대응한다.
• 3D 위상적 순서 $\mathcal{C}_G^{3D}$ 를 2D로의 차원 감소는 아벨 군 $G = \mathbb{Z}_N$ 에 대해 $\mathcal{C}_G^{3D} = \bigoplus_{n=1}^{|G|} \mathcal{C}_G^{2D}$ 를, 비아벨 군 $G$ 에 대해 $\mathcal{C}_G^{3D} = \bigoplus_C \mathcal{C}_{G_C}^{2D}$ 를 만족하며, 여기서 $C$ 는 공轭류를 뜻한다.
• $SL(3,\mathbb{Z})$ 표현의 $SL(2,\mathbb{Z})$ 부분 표현으로의 분해 규칙은 아벨 군의 경우 전체 3스트링 통계를 코딩하며, 2D 모듈러 $S$ 및 $T$ 행렬을 고차원으로 일반화한다.
• 유한 군 $G$ 를 갖는 게이지 이론에서 입자 종류의 수는 $G$ 의 공轭류의 수와 같으며, 이는 $S^2 \times S^1$ 에서의 위상적 degeneracy 로 결정된다.
• $SL(3,\mathbb{Z})$ 의 $\tilde{T}$ 생성자는 기본 상태 겹침으로부터 계산되지만, 입자 및 스트링 진동자의 통계에 대한 정보를 담고 있다.
• 3D에서의 비아벨 스트링 진동자의 융합 및 빛개짐 법칙은 차원 감소를 통해 확보된 2D 위상적 순서 데이터로부터 추출될 수 있다.