[논문 리뷰] Unpredictable Strings

Marat Akhmet, Astrit Tola|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 12.

Evolutionary Algorithms and Applications참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 예측할 수 없는 문자열—예측 가능하게 연장될 수 없는 유한 기호 순서열—의 개념을 도입하고, 이를 이용해 유한 알파벳 위에서 결정론적 예측 불가능한 수열을 정의한다. 이 논문은 이산 확률 과정에서 이러한 수열이 비가чёт 수만큼 존재함을 보여주는 '큰 문자열의 첫 번째 법칙'을 증명하며, 베르누이 정리에 유사한 두 번째 법칙을 가설로 제기한다. 이는 MATLAB 알고리즘을 통해 증가하는 예측 불가능한 문자열 길이를 가진 베르누이 과정의 수치 시뮬레이션으로 뒷받침된다.

ABSTRACT

A novel notion of unpredictable strings is revealed and utilized to define deterministic unpredictable sequences on a finite number of symbols. We prove the first law of large strings for random processes in discrete time, which confirms that there exists the uncountable set of unpredictable realizations. The hypothesis on the second law of large strings is formulated, which is relative to the Bernoulli theorem. Theoretical and numerical backgrounds for the laws are provided.

연구 동기 및 목표

• 예측 불가능한 문자열과 수열의 개념을 공식화하여 랜덤 역학의 결정론적 대응으로 삼는 것.
• 유한 상태 공간을 가진 이산 시간 확률 과정에서 예측 불가능 실현의 비가чёт 집합이 존재함을 확립하는 것.
• 베르누이 과정의 수치 시뮬레이션을 통해 이러한 수열의 통계적 행동을 조사하는 것.
• 경험적 증거에 기반해 고전적 베르누이 정리에 유사한 두 번째 큰 문자열의 법칙을 제안하는 것.
• 예측 불가능한 문자열 길이가 점진적으로 증가하는 수열을 생성하는 구축형 MATLAB 알고리즘을 제공하는 것.

제안 방법

• 길이 $k$의 예측 불가능한 문자열을 $(a_s, a_{s+1}, ..., a_{s+k})$ 형태의 유한 순서열로 정의하며, $a_k \neq a_{s+k}$ 조건을 통해 블록을 초과해 반복되지 않음을 보장한다.
• 예측 불가능한 수열에 대해 두 가지 동치 정의를 도입한다: 하나는 임의로 긴 예측 불가능한 문자열을 포함하는 방식(정의 2.2), 另一个是 복귀 시간과 발산 성질을 통한 정의(정의 2.3).
• 콤���트 메트릭 공간 $\Sigma_r$ 위에서 $d(\xi,\zeta) = \sum_{k=0}^\infty \frac{|\xi_k - \zeta_k|}{2^k}$ 메트릭을 갖춘 기호 역학을 사용해 위상적 성질을 증명한다.
• Shift 동역학에서 불변 구조를 분석하고 예측 불가능한 점의 존재를 증명하기 위해 $\Sigma_r$ 위의 베르누이 시프트 $\sigma$ 를 적용한다.
• 고정된 벡터 $v_1, ..., v_r$ 를 사용해 길이가 점차 증가하는 예측 불가능한 문자열을 갖는 수열을 생성하는 재귀 알고리즘(알고리즘 1)을 활용하며, 스칼라 경우 $r=2$ 이다.
• 유한 실현을 수치적으로 평가하며 $m = 9 \times 10^5$ 일 때 $K(m)$ (가장 긴 예측 불가능한 문자열 길이), $\xi_{K(m)}$ (그러한 문자열의 마지막 인덱스), $N(m)/m$ (중첩된 예측 불가능한 문자열의 비율) 를 추적한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결정론적 수열은 무작위 과정의 성질, 특히 예측 불가능성과 통계적 규칙성과 유사한 성질을 갖도록 구성될 수 있는가?
• RQ2 유한 상태 공간을 가진 이산 시간 과정에서 예측 불가능한 수열이 되는 실현의 집합의 기수는 얼마인가?
• RQ3 예측 불가능한 문자열을 포함하는 수열에 대해 '큰 수의 법칙'과 유사한 통계 법칙이 성립하는가?
• RQ4 예측 불가능한 문자열 길이가 점진적으로 증가하는 수열을 알고리즘적으로 어떻게 생성할 수 있는가?
• RQ5 유한 실현에서 예측 불가능한 문자열의 발생 빈도는 두 번째 큰 문자열의 법칙이 예측한 바와 같이 점차적으로 기대 확률에 수렴하는가?

주요 결과

• 큰 문자열의 첫 번째 법칙이 엄밀히 증명되었다: 유한 상태 공간을 가진 이산 시간 확률 과정에서 비가чёт 수의 예측 불가능한 실현이 존재한다.
• 이론적 분석을 통해 예측 불가능한 수열의 집합이 예측 불가능 궤도의 폐포이자 시프트 동역학의 의미에서 조밀하다는 것이 확인되었다.
• 수치 시뮬레이션에서 $p = 0.6$ 이고 $m = 9 \times 10^5$ 일 때 $N(m)/m \approx 0.6$ 로 나타나 큰 문자열의 두 번째 법칙에 대한 가설을 지지한다.
• 가장 긴 예측 불가능한 문자열의 길이 $K(n)$ 이 $n$ 과 함께 증가하며, $K(900000) = 28$ 에 도달함으로써 시간이 지남에 따라 예측 불가능성이 증가함을 보여준다.
• 가장 긴 예측 불가능한 문자열의 마지막 발생 인덱스 $\xi_{K(n)}$ 도 $n$ 과 함께 증가한다. 예를 들어 $\xi_{K(900000)} = 874766$ 로 비트리브한 분포를 보여준다.
• 알고리즘이 성공적으로 길이가 점진적으로 증가하는 예측 불가능한 문자열 길이를 갖는 수열을 생성하였으며, 29개 기호 이상의 구성된 수열을 통해 이를 입증하였다.