[논문 리뷰] Unwrapped continuation invariance in Lagrangian Floer theory: energy and $C^0$ estimates

Yong‐Geun Oh|ArXiv.org|2009. 10. 06.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 웨인만다이드에서 콘형 또는 점점이 콘형인 끝을 가진 라그랑주 부분다양체에 대해 라그랑주 플로어 homology에서 편향되지 않은 계속성 불변성을 확립한다. 해밀턴 이sovopy 하에서 준해석적 매핑의 균일한 에너지 및 $C^0$ 경계를 증명함으로써, 원래의 비콤팩트 라그랑주 다양체에서 전역적인 사슬 매핑이 존재하지 않을 경우에도 호모로지에서 동형사를 유도하는 표준 사슬 매apping을 구축한다.

ABSTRACT

We consider pairs of Lagrangian submanifolds $(L_0,L), (L_1, L)$ belonging to the class of Lagrangian submanifolds with \emph{conic} ends on \emph{Weinstein manifolds}. The main purpose of the present paper is to define a canonical chain map $h_\CL: CF(L_0,L) o CF(L_1,L)$ of Lagrangian Floer complex inducing an isomorphism in homology, under the Hamiltonian isotopy $\CL=\{L_s\}_{0 \leq s\leq 1}$ generated by \emph{conic} Hamiltonian functions such that the intersections $L \cap L_s$ do not escape to infinity. The main ingredients of the proof is an a priori bound for general isotopy of the energy \emph{quadratic} at infinity and a $C^0$-bound for the \emph{$C^1$-small} isotopy $\CL = \{L_s\}$, for the associated pseudo-holomorphic map equations with \emph{moving} Lagrangian boundary induced by a conic Hamiltonian isotopy. For the Lagrangian submanifolds with \emph{asymptotically conic} ends, we construct a natural homomorphism $h_\LL: HF(L_0,L) o HF(L_1,L)$ for which the corresponding chain map may \emph{not} necessarily exist. This provides a more conventional construction of the chain isomorphism which replaces the sophisticated method using the Lagrangian cobordism via the machinery of \cite{kasturi-oh1,kasturi-oh2} whose details were only outlined in \cite{oh:gokova}.

연구 동기 및 목표

• 비콤팩트 라그랑주 다양체에 콘형 끝을 가진 편향되지 않은 라그랑주 플로어 호모로지에서의 표준 사슬 매핑 부재 문제를 해결하기 위해.
• 비콤팩트 환경에서 해밀턴 이sovopy 하에서 준해석적 매핑에 대한 사전 에너지 및 $C^0$ 경계를 확립하기 위해.
• 전역적인 사슬 매핑이 존재하지 않는 상황에서 표준 호모모르피즘 $ h_{\tilde{\rho}}: HF(L_0, L) \to HF(L_1, L) $ 를 구축하기 위해.
• 절단된 플로어 복합체의 역극한을 통해 계속성 불변성 원리를 점점이 콘형인 라그랑주 다양체로 확장하기 위해.
• 비정확하고 비콤팩트 라그랑주 다양체를 가진 웨인만다이드에서 $A_\infty$-구조 및 편향되지 않은 후카야 카테고리 구성에 대한 엄밀한 기초를 제공하기 위해.

제안 방법

• 이sovopy $ \{L_s\} $ 를 분석이 가능해지는 기하적 설정으로 옮기기 위해 $ T^*\mathbb{R} \times M $ 상에서 스펜션 코버디즘 구조를 사용한다.
• 강한 최대원리와 단조성 논증을 적용하여 왜곡된 코시-리만 방정식의 해에 대해 이차 에너지 경계를 유도한다.
• 점근적으로 $C^1$-소형 이sovopy에 대해, 이동하는 라그랑주 경계 조건을 가진 준해석적 매핑의 국소 도함수를 제어함으로써 $C^0$-경계를 확립한다.
• 큰 $ R $ 에 대해 컴팩트 지지를 가진 해밀턴 이sovopy 를 사용하여 절단된 플로어 복합체 $ CF(L_{0,R}, L_R) \to CF(L_{1,R}, L_R) $ 에 대해 사슬 매핑 $ h_{\mathcal{L}_R} $ 을 구성한다.
• 이 매핑들을 $ R \to \infty $ 로 갈수록 역극한을 취함으로써 전체 호모로지 군에서 표준 동형사 $ h_{\mathcal{L}} $ 를 도출한다.
• 절단된 복합체 $ \{CF(L_{0,R}, L_R)\} $ 의 역계단계 시스템과 호환되는 사슬 매핑 $ \iota_{RR'} $ 의 구조에 의존하여, 역극한을 통해 편향되지 않은 호모로지를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤팩트성으로 인해 전역적인 사슬 매핑이 존재하지 않을 경우, 편향되지 않은 라그랑주 플로어 호모로지에서 표준 사슬 매핑을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이동하는 라그랑주 경계를 가진 준해석적 곡선의 컴팩트성과 정규성을 보장하기 위해 필요한, 특히 에너지 및 $C^0$ 경계는 무엇인가?
• RQ3 웨인만다이드에서 콘형 또는 점점이 콘형인 끝을 가진 라그랑주 다양체에 대해 계속성 불변성을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ4 비정확하고 비콤팩트 라그랑주 다양체에 콘형 끝을 가진 경우, 표준 $A_\infty$-구조 기반 기법을 어느 정도 적응시킬 수 있는가?
• RQ5 점점이 콘형인 라그랑주 다양체의 쌍에 대한 편향되지 않은 플로어 호모로지가 절단된 플로어 복합체의 역극한과 동형인가?

주요 결과

• 해밀턴 이sovopy 하에서 왜곡된 코시-리만 방정식의 유한 에너지 해에 대해 균일한 에너지 경계 $ E_{g_{(\psi,J)}}(u) \leq C_6 $ 가 확립되며, 여기서 $ C_6 $ 는 해 $ u $ 에 의존하지 않고 호모토피류 $ A $ 와 데이터 $ (F,J) $ 에만 의존한다.
• 준해석적 매핑의 $C^0$-경계는 국소 도함수 추정을 통해 증명되며, 이는 이sovopy 동안 매핑의 이미지가 무한대로 빠지지 않음을 보장한다.
• 표준 사슬 매핑 $ h_{\mathcal{L}}: HF(L_0, L) \to HF(L_1, L) $ 는 사슬 매핑 $ h_{\mathcal{L}_R} $ 의 역극한으로 구성되며, 이 매핑은 호모로지에서 동형사를 유도한다.
• 이 구성은 전역적인 사슬 매핑 $ CF(L_0, L) \to CF(L_{1}, L) $ 를 제공하지는 않지만, 역극한 시스템을 통해 호모로지 수준에서 동형사를 정의한다.
• 에너지 경계는 해밀턴 이sovopy 뿐 아니라 국소 해밀턴 벡터장에 의해 생성되는 일반적인 심플렉틱 이sovopy 에 대해서도 성립한다.
• 이 틀은 $A_\infty$-설정으로 확장 가능하다: 에너지 및 $C^0$ 경계가 확보된 상태에서, 비정확하고 비콤팩트 라그랑주 다양체에 대한 편향되지 않은 후카야 카테고리의 전체 $A_\infty$-구조는 [FOOO1] 과 유사하게 개발될 수 있다.