[논문 리뷰] Variational Quantum Linear Solver

Carlos Bravo-Prieto, Ryan LaRose외 4명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 12.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 70인용 수 91

한 줄 요약

논문은 근시 양자 장치에서 선형 시스템을 해결하기 위한 하이브리드 양자-고전적 변분 알고리즘(VQLS)을 도입하며, 작동 종료 조건과 확장 가능한 성능의 증거를 제시한다.

ABSTRACT

Previously proposed quantum algorithms for solving linear systems of equations cannot be implemented in the near term due to the required circuit depth. Here, we propose a hybrid quantum-classical algorithm, called Variational Quantum Linear Solver (VQLS), for solving linear systems on near-term quantum computers. VQLS seeks to variationally prepare $|x angle$ such that $A|x angle\propto|b angle$. We derive an operationally meaningful termination condition for VQLS that allows one to guarantee that a desired solution precision $ε$ is achieved. Specifically, we prove that $C \geq ε^2 / κ^2$, where $C$ is the VQLS cost function and $κ$ is the condition number of $A$. We present efficient quantum circuits to estimate $C$, while providing evidence for the classical hardness of its estimation. Using Rigetti's quantum computer, we successfully implement VQLS up to a problem size of $1024 imes1024$. Finally, we numerically solve non-trivial problems of size up to $2^{50} imes2^{50}$. For the specific examples that we consider, we heuristically find that the time complexity of VQLS scales efficiently in $ε$, $κ$, and the system size $N$.

연구 동기 및 목표

• NISQ 기기에서 회로 깊이가 제한될 때 선형 시스템 해결의 필요성을 동기 부여한다.
• A x = b의 해를 근사하기 위한 하이브리드 양자-고전적 프레임워크를 제안한다.
• 실제 해와의 근접성을 인증하고 종료를 안내하는 비용 함수들을 정의한다.
• 비용 함수의 값을 통해 비용 평가를 효율적으로 수행하고 실용적인 스케일링 통찰을 보여준다.

제안 방법

• A를 유니터리의 선형 결합으로 표현한다(A = sum_l c_l A_l), 이때 A_l는 효과적으로 구현 가능하다.
• 학습 가능한 변분 회로 V(alpha)를 사용하여 x(alpha) = V(alpha)|0>를 준비한다.
• A|x>가 |b>에서 얼마나 벗어나는지를 정량화하는 비용 함수 C_G와 C_L(또는 그 정규화되지 않은 버전)을 정의하여 C <= gamma일 때 종료를 가능하게 한다.
• Hadamard 테스트 및 Hadamard-Overlap Test 회로를 통해 비용 함수 값을 추정하여 비싼 하위 회로의 제어를 피한다.
• 고정 구조의(레이어드) 하드웨어 효율적 앙상즈와 QAOA 스타일 또는 가변 구조 앙상즈와 같은 대안을 제공한다.
• 잡음 하에서 종료를 인증하기 위한 확률적 오차 소거(PEC) 보정 접근법을 논의한다.

Figure 1: Schematic diagram for the VQLS algorithm. The input to VQLS is a matrix $A$ written as a linear combination of unitaries $A_{l}$ and a short-depth quantum circuit $U$ which prepares the state $|b\rangle$ . The output of VQLS is a quantum state $|x\rangle$ that is approximately proportional

실험 결과

연구 질문

• RQ1 VQLS가 근시하 양자 하드웨어에서 해에 비례하는 상태 |x>를 준비할 수 있는가?
• RQ2 비용 함수가 조건 κ와 C에 대해 해 오차 ε를 정량적으로 어떻게 한정하는가?
• RQ3 비용 추정 작업이 고전적으로 어려워 VQLS에서 양자 우위가 정당화되는가?
• RQ4 다른 앙상즈 구조가 학습 가능성 및 시스템 크기 n에 따른 스케일링에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 실용적 테스트에서 κ, ε, N에 따른 해결 시간의 스케일링은 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 종료 조건이 확립된다: C ≥ ε^2 / κ^2는 원하는 정밀도 ε를 보장한다.
• 로컬 비용 함수(C_L)가 대규모 n에 대해 글로벌 비용 함수(C_G)보다 더 잘 학습되며, 2^50 차원으로의 스케일링을 가능하게 한다.
• Rigetti 하드웨어에서 1024×1024 문제를 해결하는 실험이 수행되었고, 시뮬레이션은 κ, ε, N에 따른 스케일링이 최악으로도 κ의 선형, 1/ε의 로그적, N에 대해 다항로그적으로 나타남을 보여준다.
• 비용 함수 평가가 고전적으로는 DQC1-하드임이 보이고, VQLS에서 양자 우위를 강조한다.
• VQLS는 정규화된 비용에서 전역 디폴라라이즈 노이즈(OPR)에 대한 최적 매개변수 강건성을 보이며; PEC는 노이즈 하에서 다항식 오버헤드로 종료를 인증할 수 있다.

Figure 2: Comparison of local $C_{L}$ and global $C_{G}$ cost performance. Here we consider the QLSP of Eq. ( 26 ) for different system sizes. In all cases $\kappa=20$ . For each $n\in\{10,\ldots,50\}$ , we plot the cost value versus the number of cost function evaluations. As $n$ increases it becom