[논문 리뷰] Variational Quantum Linear Solver: A Hybrid Algorithm for Linear Systems

Carlos Bravo-Prieto, Ryan LaRose외 4명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 12.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 선형 시스템을 해결하기 위한 변분 양자-고전 알고리즘을 제안하며, 계산 부담을 고전적 최적화로 이관함으로써 회로 깊이를 감소시킨다. 이 알고리즘은 |b⟩와 A|x⟩ 사이의 오버랩을 바탕으로 한 비용 함수를 사용하며, 이는 해의 정밀도 ϵ과 직접적으로 관련되어 있다. 또한 1/ϵ과 κ(조건수)에 대해 효율적인 스케일링을 보이며, 리지티(Rigetti)의 양자 하드웨어를 사용하여 32×32 시스템에서 성공적으로 구현되었다.

ABSTRACT

Solving linear systems of equations is central to many engineering and scientific fields. Several quantum algorithms have been proposed for linear systems, where the goal is to prepare $|x angle$ such that $A|x angle \propto |b angle$. While these algorithms are promising, the time horizon for their implementation is long due to the required quantum circuit depth. In this work, we propose a variational hybrid quantum-classical algorithm for solving linear systems, with the aim of reducing the circuit depth and doing much of the computation classically. We propose a cost function based on the overlap between $|b angle$ and $A|x angle$, and we derive an operational meaning for this cost in terms of the solution precision $\epsilon$. We also introduce a quantum circuit to estimate this cost, while showing that this cost cannot be efficiently estimated classically. Using Rigetti's quantum computer, we successfully implement our algorithm up to a problem size of $32 imes 32$. Furthermore, we numerically find that the complexity of our algorithm scales efficiently in both $1/\epsilon$ and $\kappa$, with $\kappa$ the condition number of $A$. Our algorithm provides a heuristic for quantum linear systems that could make this application more near term.

연구 동기 및 목표

• 높은 회로 깊이로 인해 기존 양자 선형 시스템 알고리즘의 실행 시간이 길어지는 문제를 해결하기 위해.
• 계산의 일부를 고전적 최적화로 이관함으로써 양자 회로 깊이를 줄이기 위해.
• 해의 정밀도 ϵ에 있어 실질적인 의미를 지닌 비용 함수를 개발하기 위해.
• 노이즈가 있는 중간 규모 양자(NISQ) 장치에서 근접한 실현 가능성을 확보하기 위해.
• 리지티의 양자 프로세서를 사용하여 32×32 선형 시스템에서 실험적 실현 가능성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 알고리즘은 A|x⟩가 |b⟩에 가까워지도록 하는 변분 양자 회로를 사용하여 |x⟩를 준비한다.
• 비용 함수는 목표 해와 계산된 해 사이의 겹침 ⟨b|A|x⟩에 기반하여 정의되며, 이는 목표 해와 계산된 해의 민감도를 정량화한다.
• 비용 함수는 해의 정밀도 ϵ과 직접적으로 연결되어 있어 최적화에 의미 있는 지표를 제공한다.
• 비용 함수를 추정하기 위한 양자 회로가 설계되었으며, 이는 고전적으로 효율적으로 시뮬레이션할 수 없다.
• 고전적 최적화가 비용 함수를 최소화하여 반복적으로 양자 상태 |x⟩를 향상시킨다.
• 수치적 검증을 통해 행렬 A의 조건수 κ와 함께 1/ϵ에 대해 효율적인 스케일링이 이루어짐을 확인하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하이브리드 양자-고전 알고리즘이 해의 정확도를 유지하면서도 양자 선형 시스템 해결을 위한 회로 깊이를 줄일 수 있는가?
• RQ2 오버랩 기반 비용 함수의 운영적 의미는 해의 정밀도 ϵ에 대해 어떻게 나타나는가?
• RQ3 비용 함수는 양자 컴퓨터에서는 효율적으로 추정될 수 있지만 고전적으로는 그렇지 않은가?
• RQ4 알고리즘은 해의 정밀도 ϵ과 행렬의 조건수 κ에 대해 어떻게 스케일링되는가?
• RQ5 현재 NISQ 장치에서 실험적 구현에 가능한 최대 문제 크기는 얼마인가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 리지티의 양자 하드웨어를 사용하여 32×32 문제 크기에서 선형 시스템 해결을 성공적으로 구현하였다.
• 비용 함수의 운영적 의미는 해의 정밀도 ϵ과 직접적으로 연결되어 있어 의미 있는 최적화를 가능하게 하였다.
• 비용 추정을 위한 양자 회로는 고전적으로 효율적으로 시뮬레이션할 수 없어, 이 구성 요소에서 양자 우월성을 드러내었다.
• 수치적 결과는 알고리즘의 복잡도가 1/ϵ과 조건수 κ에 대해 모두 효율적으로 스케일링됨을 보여주었다.
• 양자 자원 사용과 고전적 계산 사이의 실용적인 트레이드오프를 달성하여, 근접한 장치에서의 양자 선형 시스템 해결이 더욱 가능해졌다.