[논문 리뷰] Near-term quantum algorithms for linear systems of equations

Hsin-Yuan Huang, Kishor Bharti외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 1인용 수 58

한 줄 요약

본 논문은 Ax=b를 풀이하기 위한 근시 양자 알고리즘을 연구하며, 해를 보장하기 위해 Ansatz 트리를 가진 Classical Combination of Variational Quantum States (CQS)를 도입하고 가변 양자 상태의 해석 풍경과 잠재적 플래토를 탐구한다.

ABSTRACT

Solving linear systems of equations is essential for many problems in science and technology, including problems in machine learning. Existing quantum algorithms have demonstrated the potential for large speedups, but the required quantum resources are not immediately available on near-term quantum devices. In this work, we study near-term quantum algorithms for linear systems of equations of the form $Ax = b$. We investigate the use of variational algorithms and analyze their optimization landscapes. There exist types of linear systems for which variational algorithms designed to avoid barren plateaus, such as properly-initialized imaginary time evolution and adiabatic-inspired optimization, suffer from a different plateau problem. To circumvent this issue, we design near-term algorithms based on a core idea: the classical combination of variational quantum states (CQS). We exhibit several provable guarantees for these algorithms, supported by the representation of the linear system on a so-called Ansatz tree. The CQS approach and the Ansatz tree also admit the systematic application of heuristic approaches, including a gradient-based search. We have conducted numerical experiments solving linear systems as large as $2^{300} imes 2^{300}$ by considering cases where we can simulate the quantum algorithm efficiently on a classical computer. These experiments demonstrate the algorithms' ability to scale to system sizes within reach in near-term quantum devices of about $100$-$300$ qubits.

연구 동기 및 목표

• 실용적인 근시 양자 계산 작업으로 선형 시스템 해결의 동기를 부여한다.
• Ax=b에 대한 가변 양자 알고리즘과 그 최적화 풍경을 평가한다.
• 가변 접근에서의 플래토 현상을 식별하고 CQS 프레임워크를 해결책으로 제안한다.
• 특정 조건 하에서 해를 복구하기 위한 보장을 증명하고 Ansatz 트리 개념을 도입한다.
• 큰 유효 시스템 크기에 대한 수치 시뮬레이션을 통해 확장성을 입증하고 기존의 양자 방법과 비교한다.

제안 방법

• 기본 가변 알고리즘과 두 가지 Ansatz를 분석한다: Agnostic(하드웨어 효율형)와 alternating Operator(A− 및 A+b 의존) Ansatz.
• 손실 함수 정의: L_R(x)=||Ax-|b>||^2, L_T(x)=1/2||x||^2+||Ax-|b>||^2, 그리고 구성된 H(1)을 포함하는 해밀토니안 기반 손실 L_H(|x>)를 정의한다.
• 최적화 전략에 대해 논의한다: VQE, 허수 시간 전파, adiabatic-유도 최적화(AAVQE).
• 클래식 결합의 변분 양자 상태(CQS)와 Ansatz 트리를 도입하여 양자 상태를 클래식하게 결합해 해의 커버리지를 향상시킨다.
• Hillary-gradient 확장 휴리스틱을 제공하여 Ansatz 트리를 가지치기(pruning) 및 확장한다.
• CQS 프레임워크가 증명 가능한 보장을 제공하고 Tikhonov 정규화 회귀와의 관계를 설명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 근접형 양자 소자가 실질적으로 큰 구조화된 선형 시스템에 대해 Ax=b를 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 Ax=b에 대한 가변적 풍경이 NISQ 하드웨어에서 최적화를 저해하는 배리언 플래토나 다른 평평한 영역을 나타내는가?
• RQ3 다중 가변 상태를 클래식하게 결합하는(CQS) Ansatz 트리와 함께 표준 VQE 접근법에 비해 보장 및 실용적 이점을 제공하는가?
• RQ4 주어진 가정 하에서 CQS/Ansatz-tree 접근법의 해를 실제로 복구하는 보장과 한계는 무엇인가?
• RQ5 실제 큰 유효 시스템 크기에 대해 이 방법들이 확장되는 정도는 어떠하며, 기존의 양자 선형 시스템 접근법과 비교했을 때 어떤 차이가 있는가?

주요 결과

• 가변적 접근은 특정 구조화된 선형 시스템에서 플래토와 같은 최적화 풍경을 초래하여 표준 Ansatz로는 진전을 방해할 수 있다.
• 적절하게 초기화된 허수 시간 진화 및 아디압티브에서 영감을 받은 최적화가 보편적으로 플래토 문제를 해결하지는 않으며 대체 경로가 필요하다.
• Ansatz 트리를 갖춘 Classical Combination of Variational Quantum States(CQS)는 보장을 제공하고 그래디언트 기반 휴리스틱으로 유용한 상태 조합을 선택할 수 있게 한다.
• 클래식 시뮬레이션으로 최대 2^300 × 2^300 규모의 선형 시스템을 시뮬레이션해 수치 실험을 통해 근시 기기에서 약 100–300 큐비트로의 확장 가능성을 시사한다.
• CQS의 변형은 기존의 양자 알고리즘과 유사한 보장을 달성하면서 게이트 수를 최대 1/ε의 비율로 줄이고 하나의 보조 큐비트만 사용한다.
• 이 프레임워크는 Gradient 확장 및 관련 방법을 통해 Ansatz 트리의 휴리스틱 가지치기/확장을 체계적으로 가능하게 한다.