[논문 리뷰] Vibration Analysis of Geometrically Nonlinear and Fractional Viscoelastic Cantilever Beams

Pegah Varghaei, Ehsan Kharazmi외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 04.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 58인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 분포형 분수계 수축성 모델을 사용하여 기하학적 비선형성을 가진 분수계 점성탄성 단순단면보의 비선형 진동을 조사한다. 해밀턴의 원리를 통해 운동 방정식을 유도하고 스펙트럼 분해 및 섭동 방법을 통해 해를 구한다. 선형 응답에서 이방성 거듭제곱 법칙 감쇠가 나타나며, 분수계 수치에 대한 진폭의 초민감성과 주공진에서의 비선형성에 의한 분기 현상이 관찰된다.

ABSTRACT

We investigate the nonlinear vibration of a fractional viscoelastic cantilever beam, subject to base excitation, where the viscoelasticity takes the general form of a distributed-order fractional model, and the beam curvature introduces geometric nonlinearity into the governing equation. We utilize the extended Hamilton principle to derive the governing equation of motion for specific material distribution functions that lead to fractional Kelvin-Voigt viscoelastic model. By spectral decomposition in space, the resulting governing fractional PDE reduces to nonlinear time-fractional ODEs. We use direct numerical integration in the decoupled system, in which we observe the anomalous power-law decay rate of amplitude in the linearized model. We further develop a semi-analytical scheme to solve the nonlinear equations, using method of multiple scales as a perturbation technique. We replace the expensive numerical time integration with a cubic algebraic equation to solve for frequency response of the system. We observe the super sensitivity of response amplitude to the fractional model parameters at free vibration, and bifurcation in steady-state amplitude at primary resonance.

연구 동기 및 목표

• 기저 진동에 의해 영향을 받는 분수계 점성탄성성과 기하학적 비선형성을 가진 단순단면보의 비선형 진동을 모델링하기.
• 분포형 분수계 구성법칙을 포함한 확장된 해밀턴의 원리를 사용하여 운동 방정식을 유도하기.
• 공간에 대한 스펙트럼 분해를 통해 분수계 편미분방정식을 비선형 시간분수계 상미분방정식 시스템으로 감소시키기.
• 직접 시간 통합을 피하기 위해 다중 척도 방법을 기반으로 한 반분석적 방법을 개발하여 주파수 응답을 계산하기.
• 분수계 모델 매개변수의 영향을 진폭 응답에 대해 조사하며, 소프트닝/하드닝 및 분기 행동을 포함하여 분석하기.

제안 방법

• 분수계 켈빈-보이트 점성탄성성과 기하학적 비선형성을 가진 보를 위한 확장된 해밀턴의 원리를 사용하여 운동 방정식을 수립하기.
• 공간에 대한 스펙트럼 분해를 적용하여 분수계 편미분방정식을 비선형 시간분수계 상미분방정식의 시스템으로 감소시키기.
• 선형화된 시스템에서 이방성 거듭제곱 법칙 감쇠를 관찰하기 위해 직접 수치적 통합을 수행하기.
• 다중 척도 방법을 섭동 기법으로 사용하여 주파수 응답을 위한 삼차 대수방정식을 유도하기.
• 선형 무감쇠 고유값 문제로부터 유도된 고유함수를 사용한 가정 모드 방법을 적용하여 단일 모드 근사 가능하게 하기.
• 반분석적 해를 검증하기 위해 수치적 통합 결과와 비교하고 주공진에서의 분기 행동 분석하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분포형 분수계 점성탄성 모델은 단순단면보의 선형 및 비선형 진동 응답에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 선형화된 시스템에서의 진폭 감쇠 성격은 무엇이며, 이는 이방성 거듭제곱 법칙 행동을 보이는가?
• RQ3 기하학적 비선형성이 존재할 때 분수계 모델 매개변수는 정상 상태 진폭과 주파수 응답에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 시스템은 소프트닝 또는 하드닝 행동를 보이며, 주파수 응답에서 분기 현상은 어떤 조건에서 발생하는가?
• RQ5 다중 척도 방법을 기반으로 한 반분석적 방법은 직접 시간 통합 없이도 주파수 응답을 정확하게 예측할 수 있는가?

주요 결과

• 선형화된 시스템은 분수계 역학과 일치하는 이방성 거듭제곱 법칙 감쇠를 나타낸다.
• 응답 진폭은 분수계 모델 매개변수에 대해 초민감하며, 특히 공진 근처에서 두드러진다.
• 주공진에서 정상 상태 진폭의 분기 현상이 관찰되어 복잡한 비선형 행동을 나타낸다.
• 다중 척도 방법을 기반으로 한 반분석적 방법은 고비용의 수치적 시간 통합을 삼차 대수방정식으로 성공적으로 대체한다.
• 선형 무감쇠 시스템의 첫 번째 고유함수는 $ X_1(s) = 5.50054\big[\text{sin}(\beta_1 s) - \text{sinh}(\beta_1 s)\big] - 0.215842\big[\text{cos}(\beta_1 s) - \text{cosh}(\beta_1 s)\big] $ 로 계산되며, $ \beta_1^2 = 1.38569 $ 이다.
• 집중 질량이 없는 경우, 첫 번째 고유값은 $ \beta_1^2 = 3.51602 $ 이며, 정규화된 고유함수는 $ X_1(s) = 0.734096\big[\text{sin}(\beta_1 s) - \text{sinh}(\beta_1 s)\big] - \big[\text{cos}(\beta_1 s) - \text{cosh}(\beta_1 s)\big] $ 로 얻어진다.