[논문 리뷰] Virtual persistence diagrams, signed measures, and Wasserstein distance

Peter Bubenik, Alex Elchesen|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 18.

Topological and Geometric Data Analysis인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 임의의 거리공간에서의 영속 다이어그램과 라돈 측도에 대해 호환 가능한 워셔스타인 거리(wasserstein distance)를 도입하며, 1-워셔스타인 거리를 가상의 영속 다이어그램과 부호 있는 측도로 확장한다. 이는 워셔스타인 거리에 대한 코시 완비화를 특성화하며, 최적 운반 이론과 위상적 데이터 분석 프레임워크를 일반화한다.

ABSTRACT

Persistence diagrams, an important summary in topological data analysis, consist of a set of ordered pairs, each with positive multiplicity. Persistence diagrams are obtained via Mobius inversion and may be compared using a one-parameter family of metrics called Wasserstein distances. In certain cases, Mobius inversion produces sets of ordered pairs which may have negative multiplicity. We call these virtual persistence diagrams. Divol and Lacombe recently showed that there is a Wasserstein distance for Radon measures on the half plane of ordered pairs that generalizes both the Wasserstein distance for persistence diagrams and the classical Wasserstein distance from optimal transport theory. Following this work, we define compatible Wasserstein distances for persistence diagrams and Radon measures on arbitrary metric spaces. Furthermore, we show that the 1-Wasserstein distance extends to virtual persistence diagrams and to signed measures. In addition, we characterize the Cauchy completion of persistence diagrams on metric spaces with respect to the Wasserstein distances.

연구 동기 및 목표

• 영속 다이어그램에서 임의의 거리공간의 라돈 측도로 워셔스타인 거리를 일반화하는 것.
• 음수 중복도를 가질 수 있는 가상의 영속 다이어그램으로 1-워셔스타인 거리를 확장하는 것.
• 워셔스타인 거리에 대한 영속 다이어그램 공간의 코시 완비화를 특성화하는 것.
• 공통적인 거리공간 프레임워크를 통해 위상적 데이터 분석과 최적 운반 이론을 통합하는 것.

제안 방법

• 최적 운반 원리를 사용하여 임의의 거리공간에서의 영속 다이어그램과 라돈 측도에 대해 호환 가능한 워셔스타인 거리를 정의한다.
• 반평면에서의 라돈 측도 이론을 활용하여 워셔스타인 거리를 표준 영속 다이어그램을 초월해 일반화한다.
• 최적 운반의 이중형식을 적응하여 1-워셔스타인 거리를 부호 있는 측도와 가상의 영속 다이어그램으로 확장한다.
• 측도와 연속 함수 사이의 이중성을 사용하여 수렴성과 완비성 성질을 확립한다.
• 라돈 측도 이론을 적용하여 워셔스타인 거리에 대한 영속 다이어그램 공간의 코시 완비화를 특성화한다.
• 이중성과 거리의 확장을 통해 고전적 워셔스타인 거리를 부호 있는 측도와 가상의 측도로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 임의의 거리공간에서의 영속 다이어그램과 라돈 측도에 대해 일관된 워셔스타인 거리를 정의할 수 있는가?
• RQ2 1-워셔스타인 거리는 음수 중복도를 가진 가상의 영속 다이어그램으로 어떻게 확장되는가?
• RQ3 1-워셔스타인 거리에 대한 영속 다이어그램 공간의 코시 완비화는 무엇인가?
• RQ4 제안된 프레임워크는 어떻게 위상적 데이터 분석과 최적 운반 이론을 통합하는가?
• RQ5 1-워셔스타인 거리로 장비된 부호 있는 측도의 공간은 어떤 구조적 및 위상적 성질을 가지는가?

주요 결과

• 1-워셔스타인 거리는 가상의 영속 다이어그램과 부호 있는 측도로 확장되어 표준 영속 다이어그램을 초월한 거리 비교를 가능하게 한다.
• 임의의 거리공간에서의 영속 다이어그램과 라돈 측도에 대해 호환 가능한 워셔스타인 거리가 정의되며, 기존 프레임워크를 일반화한다.
• 1-워셔스타인 거리에 대한 영속 다이어그램 공간의 코시 완비화는 반평면에서의 라돈 측도 공간을 통해 특성화된다.
• 이 프레임워크는 둘 다 동일한 거리 구조에 통합함으로써 위상적 데이터 분석과 최적 운반을 통합한다.
• 확장은 이중성과 완비성 성질을 유지하여 이론적 및 응용적 사용에 대한 강건성을 보장한다.