[논문 리뷰] W-algebras for Argyres-Douglas theories

Thomas Creutzig|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 20.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 양자 해밀토니안 축소를 통해 $A_{\text{odd}}$ 및 $D_{\text{even}}$-형 Argyres-Douglas 이론에 대응하는 정점 연산자 대수(VOA)를 규명한다. $(A_1, A_{2p-3})$ 이론의 슈어 지수는 로그형 $\mathcal{B}_p$-대수의 특성과 일치하며, $(A_1, D_{2p})$ 이론의 슈어 지수는 수준 $k = -(p^2-1)/p$에서 $L_k(\mathfrak{sl}_{p+1})$의 비정규 양자 해밀토니안 축소로 구성된 비정규 $\mathcal{W}_p$-대수의 특성과 일치함을 입증하여, 이러한 특성의 모듈러 성질에 대한 추측을 확인한다.

ABSTRACT

The Schur-index of the $(A_1, X_n)$-Argyres-Douglas theory is conjecturally a character of a vertex operator algebra. Here such vertex algebras are found for the $A_{ ext{odd}}$ and $D_{ ext{even}}$-type Argyres-Douglas theories. The vertex operator algebra corresponding to $A_{2p-3}$-Argyres-Douglas theory is the logarithmic $\mathcal B_p$-algebra of [1], while the one corresponding to $D_{2p}$, denoted by $\mathcal W_p$, is realized as a non-regular Quantum Hamiltonian reduction of $L_{k}(\mathfrak{sl}_{p+1})$ at level $k=-(p^2-1)/p$. For all $n$ one observes that the quantum Hamiltonian reduction of the vertex operator algebra of $D_n$ Argyres-Douglas theory is the vertex operator algebra of $A_{n-3}$ Argyres-Douglas theory. As corollary, one realizes the singlet and triplet algebras (the vertex algebras associated to the best understood logarithmic conformal field theories) as Quantum Hamiltonian reductions as well. Finally, characters of certain modules of these vertex operator algebras and the modular properties of their meromorphic continuations are given.

연구 동기 및 목표

• Schur 지수에 대응하는 정점 연산자 대수(VOA)를 $A_{\text{odd}}$ 및 $D_{\text{even}}$-형 Argyres-Douglas 이론에 대해 규명하는 것.
• $(A_1, D_{2p})$-형 이론에 대한 VOA를 수준 $k = -(p^2-1)/p$에서 $L_k(\mathfrak{sl}_{p+1})$의 비정규 양자 해밀토니안 축소로 구성하는 것.
• 이 이론들의 슈어 지수가 해당 VOA의 특성과 일치함을 검증하는 것.
• 싱게트 및 트리플렛 대수가 양자 해밀토니안 축소를 통해 유도됨을 밝히는 것.
• 특성의 메로모르픽 연장을 통해 벡터 값의 부정적 인덱스를 가진 자이코비 형식으로 모듈의 모듈러 데이터를 제공하는 것.

제안 방법

• $L_k(\mathfrak{sl}_{p+1})$에 양자 해밀토니안 축소를 적용하여 수준 $k = -(p^2-1)/p$에서 $\mathcal{W}_p$-대수를 구성하는 것.
• $\mathcal{B}_p$-대수를 $A_{2p-3}$-형 Argyres-Douglas 이론과 관련된 로그형 대수로 식별하는 것.
• 모듈의 특성을 계산하고, 무한한 인덱스를 가진 메로모르픽 자이코비 형식으로 해석적 계속을 수행하는 것.
• 스펙트럴 플로우 자동형사를 사용하여 특성이 모듈러 성질을 갖는 모듈을 생성하는 것.
• $\mathcal{W}_p$와 $\mathcal{X}_p = \bigoplus_{m=0}^\infty L(m) \otimes (F_{-\lambda m} \oplus \cdots \oplus F_{\lambda m})$ 사이의 대응 관계를 특성 일치를 통해 확립하는 것.
• $\mathcal{W}_p$, $\mathcal{C}_p$, $\mathcal{Y}_p$에 $+$-축소 함자 $H_+^0$를 적용하여 기존의 VOA인 $\mathcal{B}_p$, $\mathcal{M}(p)$, $\mathcal{W}(p)$를 복원하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $(A_1, A_{2p-3})$ Argyres-Douglas 이론의 슈어 지수가 $\mathcal{B}_p$-대수의 특성과 일치하는가?
• RQ2 $(A_1, D_{2p})$ Argyres-Douglas 이론의 슈어 지수가 수준 $k = -(p^2-1)/p$에서 $L_k(\mathfrak{sl}_{p+1})$의 비정규 양자 해밀토니안 축소로 표현되는가?
• RQ3 $\mathcal{W}_p$-대수의 모듈 특성이 무한한 인덱스를 가진 벡터 값 자이코비 형식으로 메로모르픽 연속이 가능한가?
• RQ4 $\mathcal{W}_p$-대수와 $L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathcal{H}$-모듈인 $\mathcal{X}_p$ 사이의 이sovomorphism이 성립하는가?
• RQ5 $\mathcal{W}_p$, $\mathcal{C}_p$, $\mathcal{Y}_p$에 대한 $+$-축소 함자 $H_+^0$가 각각 알려진 $\mathcal{B}_p$, $\mathcal{M}(p)$, $\mathcal{W}(p)$ VOA를 복원하는가?

주요 결과

• $\mathcal{B}_p$-대수의 특성은 $(A_1, A_{2p-3})$ Argyres-Douglas 이론의 슈어 지수와 일치하며, 중심적 차수 $c_p[\mathcal{B}_p] = 2 - 6(p-1)^2/p$를 갖는다.
• $\mathcal{W}_p$-대수의 특성은 $(A_1, D_{2p})$ Argyres-Douglas 이론의 슈어 지수와 일치하며, 중심적 차수 $c_p[\mathcal{W}_p] = 4 - 6p$를 갖는다.
• $\mathcal{W}_p$-대수는 수준 $k = -(p^2-1)/p$에서 $L_k(\mathfrak{sl}_{p+1})$의 비정규 양자 해밀토니안 축소로 표현되며, 이는 경계 적합 수준이다.
• $\mathcal{W}_p$의 특성이 $L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathcal{H}$-모듈인 $\mathcal{X}_p$의 특성과 동일함을 보여, 모듈 수준의 동형을 확립한다.
• $\mathcal{W}_p$-대수에는 $L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathcal{H}$의 등각 임bedding이 포함되어 있으며, $\mathcal{W}_p \cong \mathcal{X}_p$로 $L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathcal{H}$-모듈로서 동형이다.
• $+$-축소 함자 $H_+^0$는 $\mathcal{W}_p$를 $\mathcal{B}_p$, $\mathcal{C}_p$를 $\mathcal{M}(p)$, $\mathcal{Y}_p$를 $\mathcal{W}(p)$로 매핑하여 추측된 대응 관계를 확인한다.