[논문 리뷰] Wandering domains arising from Lavaurs maps with Siegel disks

Astorg, Matthieu외 4명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 09.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 14인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 라바르 지도와 시겔 원판을 조합하여 복소다이나믹스에서 새로운 유형의 방황 영역을 구성한다. 이는 이전의 안정 고정점 기반 예시와 다름. 정밀한 평행 수렴 속도 추정과 평행 곡선 구성 기법을 사용하여, 비자율 시스템에서 포획 영역 존재를 위한 필요충분조건을 증명함으로써, 다항 스케우 tích분에서 시겔 유형 다이나믹스에 기인한 첫 번째 방황 영역 예를 수립한다.

ABSTRACT

The classification of Fatou components for rational functions was concluded with Sullivan's proof of the No Wandering Domains Theorem in 1985. In 2016 it was shown, in joint work of the first and last author with Buff, Dujardin and Raissy, that wandering domains do exist in higher dimensions. In fact, wandering domains arise even for a seemingly simple class of maps: polynomial skew products. While the construction gives an infinite dimensional class of examples, and has been extended to polynomial automorphisms of C 4 by Hahn and the last author, the currently known wandering domains are essentially unique. Our goal in this paper is to construct a second example, arising from similar techniques , but with distinctly different dynamical behavior. Instead of wandering domains arising from a Lavaurs map with an attracting fixed point, we construct a domain arising from a Lavaurs map with a fixed point of Siegel type. Siegel disks are not robust under perturbations, as opposed to attracting fixed points. We prove a necessary and sufficient condition for the existence of a so-called trapping domain for non-autonomous dynamical systems given by sequences of maps converging parabolically towards a Siegel type limit map. Guaranteeing that this condition is satisfied in our current construction requires a reconsideration of the proof of the original wandering domain, as more precise estimates on the rate of convergence towards the Lavaurs map are required. By adapting ideas introduced recently by Bedford, Smillie and Ueda, and by proving the existence of parabolic curves, with control on their domains of definition, we prove that the convergence rate is parabolic.

연구 동기 및 목표

• 안정 고정점 외의 영역으로 방황 영역 이론을 확장하여, 변형에 민감한 시겔 원판을 포함시키기 위해.
• 한계 지도가 안정 고정점이 아니라 시겔 원판을 가질 경우 방황 영역을 구성하는 데 도전하는 문제를 해결하기 위해.
• 평행 수렴하는 비자율 동역학계에서 포획 영역 존재를 위한 필요충분조건을 수립하기 위해.
• 베드포드, 스미리, 유에다의 기법을 응용하여 수렴 속도를 제어하고 라바르 지도 수렴 시 평행 행동을 증명하기 위해.

제안 방법

• 라바르 지도의 안정 고정점이 아닌 시겔 유형 고정점을 가진 지도 수열이 평행하게 수렴하는 비자율 동역학계를 구성하기 위해.
• 비자율 시스템에 대한 포획 영역 조건을 도입하여, 반복의 渐近적 행동을 기반으로 한 기준으로 제시하기 위해.
• 원래의 방황 영역 구성 방식을 재고하여, 라바르 지도 수렴 속도에 대한 엄격한 추정을 강화하고 평행 행동을 중점적으로 다루기 위해.
• 베드포드, 스미리, 유에다의 최근 기법을 적용하여 정의역이 제어 가능한 평행 곡선의 존재를 증명하기 위해.
• 라바르 지도 수렴 속도가 평행임을 증명하여, 포획 메커니즘이 유지되기 위한 필수 조건을 확보하기 위해.
• 평행 곡선의 정의역 제어를 통해, 극한에서 포획 조건이 만족됨을 보장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 한계 라바르 지도가 안정 고정점이 아니라 시겔 원판을 가질 경우, 고차원 다이나믹스에서 방황 영역를 구성할 수 있는가?
• RQ2 평행하게 시겔 유형 지도로 수렴하는 비자율 시스템에서 포획 영역 존재를 위한 필수충분조건은 무엇인가?
• RQ3 시겔 원판의 비안정성은 안정 고정점 기반 예시와 비교해 방황 영역 구성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 라바르 지도 수렴 속도를 얼마나 제어할 수 있는가? 이는 포획에 필수적인 평행 행동을 확보하기 위해 중요하다.
• RQ5 정의역이 제어 가능한 평행 곡선을 충분히 제어하여 이 설정에서 방황 영역 존재를 뒷받침할 수 있는가?

주요 결과

• 라바르 지도의 시겔 유형 고정점을 가진 새로운 방황 영역 예가 구성되었으며, 이는 이전의 안정 고정점 기반 예와는 다름.
• 평행하게 시겔 유형 한계 지도로 수렴하는 비자율 시스템에서 포획 영역 존재를 위한 필요충분조건이 확립됨.
• 라바르 지도 수렴 속도가 평행임을 증명하여, 구성에서 포획 메커니즘이 유지되기 위한 필수 조건을 확보함.
• 정의역이 제어 가능한 평행 곡선이 존재함을 입증하여, 구성에 필수적인 정밀 추정이 가능해짐.
• 원래의 방황 영역 구성 방식을 재평가하고, 시겔 유형 다이나믹스 하에서 유효성을 확보하기 위해 수렴 속도에 대한 정밀 추정을 강화함.
• 기존에 알려진 유일한 구성 외에 방황 영역의 다양성을 보여주는 방법으로, 기존의 유형을 초월하여 동역학적 행동의 다양성을 입증함.