[논문 리뷰] Weak complicial sets, a simplicial weak omega-category theory. Part I: basic homotopy theory

Dominic Verity|ArXiv.org|2006. 04. 19.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 약한 복합체 집합(weak complicial sets)이 분해형 단체 복합체(stratified simplicial sets)의 분해형 객체(fibrant objects)가 되는 Quillen 모델 구조를 수립한다. 이는 칸 복합체, 준-카테고리, 그리고 엄격한 오메가-카테고리들을 일반화한다. 이론은 조인, 그레이 텐서곱, 그리고 분해형 확장(anodyne extensions)을 도입함으로써 약한 오메가-카테고리에 대한 기초적인 호모토피 이론을 제공하며, 동시에 조일의 준-카테고리에 대한 모델 구조를 별개로 재구성한다.

ABSTRACT

This paper develops the foundations of a simplicial theory of weak omega-categories, which builds upon the insights originally expounded by Ross Street in his 1987 paper on oriented simplices. The resulting theory of weak complicial sets provides a common generalisation of the theories of (strict) omega-categories, Kan complexes and Joyal's quasi-categories. We generalise a number of results due to the current author with regard to complicial sets and strict omega-categories to provide an armoury of well behaved technical devices, such as joins and Gray tensor products, which will be used to study these the weak omega-category theory of these structures in a series of companion papers. In particular, we establish their basic homotopy theory by constructing a Quillen model structure on the category of stratified simplicial sets whose fibrant objects are the weak complicial sets. As a simple corollary of this work we provide an independent construction of Joyal's model structure on simplicial sets for which the fibrant objects are the quasi-categories.

연구 동기 및 목표

• 단체 방법을 사용하여 약한 오메가-카테고리에 대한 호모토피 이론 프레임워크를 개발하기 위해.
• 엄격한 오메가-카테고리, 칸 복합체, 조일의 준-카테고리들을 하나의 이론인 약한 복합체 집합으로 일반화하기 위해.
• 분해형 단체 복합체 위에 약한 복합체 집합이 분해형 객체가 되는 Quillen 모델 구조를 수립하기 위해.
• 고차 카테고리 이론을 위한 기술적 도구—조인, 그레이 텐서곱, 분해형 확장—을 제공하기 위해.
• 조일의 준-카테고리에 대한 모델 구조를 특수한 경우로 회복함으로써, 별개의 구성 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 단체 복합체에 특히 정의된 얇은(또는 표시된) 단체들의 집합을 부여하여 분해형 단체 복합체를 도입한다.
• 일반화된 홀의 약한 유일 확장 조건을 통해 약한 복합체 집합을 정의하며, 복합체 집합의 유일성 요구 조건을 완화한다.
• 증강된 단체 복합체와 디칼라주를 사용하여 분해형 집합의 조인을 구성함으로써 고차원 합성 모델링을 가능하게 한다.
• 분해형 집합의 그레이 텐서곱을 개발하여 고차 카테고리에서의 느슨한 가환성 모델링을 가능하게 한다.
• 분해형 확장을 식별하고, 이를 통해 분해형 사상들을 정의함으로써 Quillen 모델 구조를 수립한다.
• 제피리 씻의 정리를 적용하여 분해형 단체 복합체의 범주에서 코프로젝티브 생성 모델 구조를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엄격한 오메가-카테고리와 준-카테고리를 동시에 일반화하는 단체 이론적 약한 오메가-카테고리의 구축 방법은 무엇인가?
• RQ2 분해형 단체 복합체에 대해 어떤 조건이 잘 정의된 호모토피 이론을 보장하는가?
• RQ3 그레이 텐서곱과 조인 연산을 분해형 집합 위에 조합론적으로 정의할 수 있는가? 이는 고차원 합성을 모델링할 수 있는가?
• RQ4 약한 복합체 집합은 조일의 준-카테고리와 어떻게 관련되어 있으며, 조일의 모델 구조는 별개로 재구성 가능한가?
• RQ5 어떤 분해형 단체 복합체 위의 모델 구조가 약한 복합체 집합을 분해형 객체로 포함하면서 양호한 호모토피 성질을 보장하는가?

주요 결과

• 분해형 단체 복합체의 범주 위에 Quillen 모델 구조가 수립되었으며, 이 구조에서 분해형 객체는 약한 복합체 집합이다.
• 이 모델 구조는 코프로젝티브 생성이며, 모노이드적 구조를 지니며, 그레이 텐서곱은 분해형 사상과 분해형 약한 동치를 보존한다.
• 약한 동치의 집합은 재접합에 대해 닫혀 있으며, 2-중 3 성질을 만족하여 잘 정의된 호모토피 이론을 보장한다.
• 이 모델 구조의 분해형 객체는 정확히 약한 복합체 집합이며, 이는 칸 복합체와 준-카테고리를 일반화한다.
• 결론적으로, 조일의 모델 구조—여기서 분해형 객체는 준-카테고리인—가 별개의 구성으로 재구성된다.
• 이 이론은 조합론적으로 다룰 수 있는 프레임워크를 제공하며, 조인과 텐서곱의 명시적 구성이 가능하다.