[논문 리뷰] Weak complicial sets, a simplicial weak omega-category theory. Part II: nerves of complicial Gray-categories

Dominic Verity|arXiv (Cornell University)|2006. 04. 19.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 6인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 약한 컴플리셜 세트 위에 값이 있는 카테고리인 컴플리셜 그레이 카테고리—그레이 텐서 곱을 통해 정의된 약한 컴플리셜 세트 값의 카테고리—를 도입하고, 이들을 약한 컴플리셜 세트의 카테고리에 충실하게 통합시키는 네르브 함자를 구성한다. 주요 기여는 이러한 카테고리의 네르브가 약한 컴플리셜 세트임을 증명하는 것으로, 이로 인해 모든 작은 약한 컴플리셜 세트의 카테고리가 이 네르브 구성에 의해 큰, 풍부한 구조를 지닌 약한 컴플리셜 세트로 구성됨을 보여준다.

ABSTRACT

This paper continues the development of a simplicial theory of weak omega-categories, by studying categories which are enriched in weak complicial sets. These complicial Gray-categories generalise both the Kan complex enriched categories of homotopy theory and the Gray-categories of weak 3-category theory. We derive a simplicial nerve construction, which is closely related to Cordier and Porter's homotopy coherent nerve, and show that this faithfully represents complicial Gray-categories as weak complicial sets. The category of weak complicial sets may itself be canonically enriched to a complicial Gray-category whose homsets are higher generalisations of the bicategory of homomorphisms, strong transformations and modifications. By applying our nerve construction to this structure, we demonstrate that the totality of all (small) weak complicial sets and their structural morphisms at higher dimensions form a richly structured (large) weak complicial set.

연구 동기 및 목표

• 클래식한 그레이 카테고리와 그의 고차원적 일반화를 약한 컴플리셜 세트 프레임워크 내에서 일반화하기 위해, 그레이 텐서 곱에 대해 약한 컴플리셜 세트 값의 카테고리로서의 컴플리셜 그레이 카테고리를 도입함으로써 약한 오메가 카테고리의 고차원 버전을 일반화하고자 한다.
• 코디에르와 포터의 동치가치 네르브 구성(호모토피 일관성 네르브)을 컴플리셜 그레이 카테고리의 맥락으로 확장하고자 한다.
• 컴플리셜 그레이 카테고리의 네르브 구성이 약한 컴플리셜 세트로 충실하게 표현됨을 보여주어, 이러한 카테고리의 카테고리가 약한 컴플리셜 세트의 카테고리에 통합됨을 입증하고자 한다.
• 모든 작은 약한 컴플리셜 세트와 그들의 고차원 사상들이 네르브 구성에 의해 큰, 풍부한 구조를 지닌 약한 컴플리셜 세트로 구성됨을 보여주고자 한다.
• 약한 컴플리셜 세트가 약간의 얇은 단체 조건을 만족할 경우, 이들이 컴플리셜 그레이 카테고리의 네르브와 호모토피 동치임을 보여주는 기초를 마련하여 향후의 일관성 정리에 기여하고자 한다.

제안 방법

• 정의: 약한 컴플리셜 세트의 카테고리로서, 계층적 단체 세트의 그레이 텐서 곱을 사용하여 컴플리셜 그레이 카테고리를 정의한다.
• 호모토피 일관성 네르브 구성의 방법을 확장하여, 약한 컴플리셜 세트 값의 카테고리에 대한 일반화된 환경에 적용하며, 코디에르와 포터의 단체 카테고리에 대한 네르브 구성의 일반화를 수행한다.
• 이전 연구에서 얻은 컴플리셜 필라션에 관한 결과를 활용하여, 내부 홀링 조건과 얇은 구조 조건을 검증함으로써 컴플리셜 그레이 카테고리의 네르브가 약한 컴플리셜 세트임을 증명한다.
• 컴플리셜 그레이 카테고리 간의 국소 컴플리셜 필라션은 그 네르브에서 내부 컴플리셜 필라션을 유도함을 보이며, 네르브 함자가 핵심 호모토피적 구조를 유지함을 보장한다.
• 내부 호모모르피즘과 그레이 텐서 곱의 구조를 활용하여, 약한 컴플리셜 세트의 카테고리를 큰 컴플리셜 그레이 카테고리로 구성한다.
• 이 큰 카테고리에 네르브 함자를 적용하여, 그 결과로 얻는 대상이 모든 작은 약한 컴플리셜 세트와 그들의 고차원 사상들을 코딩하는 약한 컴플리셜 세트임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클래식한 그레이 카테고리와 그들의 고차원적 일반화는 약한 컴플리셜 세트의 프레임워크 내에서 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 약한 컴플리셜 세트 값의 카테고리에 대해 그레이 텐서 곱을 사용할 때, 호모토피 일관성 네르브 구성은 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ3 컴플리셜 그레이 카테고리의 네르브는 약한 컴플리셜 세트가 되는가? 그리고 이 네르브는 충실한가?
• RQ4 모든 작은 약한 컴플리셜 세트의 카테고리는 네르브 구성에 의해 풍부한 고차원 카테고리적 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ5 약한 컴플리셜 세트가 컴플리셜 그레이 카테고리의 네르브와 동치임을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 컴플리셜 그레이 카테고리의 네르브는 약한 컴플리셜 세트이며, 이는 이러한 카테고리의 카테고리가 약한 컴플리셜 세트의 카테고리에 충실하게 통합됨을 보여준다.
• 네르브 함자는 국소 컴플리셜 필라션을 유지한다. 즉, 컴플리셜 그레이 카테고리 간의 함수가 국소 컴플리셜 필라션일 경우, 그 네르브는 내부 컴플리셜 필라션이다.
• 작은 약한 컴플리셜 세트의 카테고리는 내부 호모모르피즘을 통해 자연스러운 컴플리셜 그레이 카테고리의 구조를 지닐 수 있으며, 이에 따라 사상 집합은 약한 컴플리셜 세트의 카테고리 내에서의 내부 호모모르피즘으로 주어진다.
• 이 큰 컴플리셜 그레이 카테고리에 네르브 함자를 적용하면, 모든 작은 약한 컴플리셜 세트와 그들의 고차원 사상들을 코딩하는 큰 약한 컴플리셜 세트가 얻어진다.
• 결과로 얻어진 큰 약한 컴플리셜 세트는 어떤 유한한 n에 대해서도 n-비퇴화적이지 않으며, 이는 풍부하고 비퇴화된 고차원 카테고리적 구조를 지님을 시사한다.
• 이 구성은 최종적으로 일관성 정리를 증명하는 데 기여한다: 어떤 약한 컴플리셜 세트가 약간의 얇은 단체 조건을 만족할 경우, 이는 동일한 조건을 만족하는 컴플리셜 그레이 카테고리의 네르브와 호모토피 동치이다.