[논문 리뷰] Weak Convergence Rates for Spatial Spectral Galerkin Approximations of Semilinear Stochastic Wave Equations with Multiplicative Noise

Ladislas Jacobe de Naurois, Arnulf Jentzen외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 58인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 이전에 추가 소음에 대해서만 분석된 바 있었던, 곱셈형 소음이 있는 비선형 스펙트럼 갈레르킨 근사에 대한 약한 수렴 속도가 거의 날카로운 것을 확립한다. 콜모고로프 방정식, 샤텐 노름에 대한 헬더 부등식, 그리고 온화한 이토 공식을 조합하여 저자들은 약한 수렴 속도가 강한 수렴 속도의 두 배임을 증명한다—특히 쌍곡형 앤더슨 모형의 경우 1−ε의 속도를 확인함으로써 오랫동안 구하지 못한 이론적 기준을 확보한다.

ABSTRACT

Stochastic wave equations appear in several models for evolutionary processes subject to random forces, such as the motion of a strand of DNA in a liquid or heat flow around a ring. Semilinear stochastic wave equations can typically not be solved explicitly, but the literature contains a number of results which show that numerical approximation processes converge with suitable rates of convergence to solutions of such equations. In the case of approximation results for strong convergence rates, semilinear stochastic wave equations with both additive or multiplicative noise have been considered in the literature. In contrast, the existing approximation results for weak convergence rates assume that the diffusion coefficient of the considered semilinear stochastic wave equation is constant, that is, it is assumed that the considered wave equation is driven by additive noise, and no approximation results for multiplicative noise are known. The purpose of this work is to close this gap and to establish sharp weak convergence rates for semilinear stochastic wave equations with multiplicative noise. In particular, our weak convergence result establishes as a special case essentially sharp weak convergence rates for the hyperbolic Anderson model. Our method of proof makes use of the Kolmogorov equation, the H\"older-inequality for Schatten norms, and the mild It\^o formula.

연구 동기 및 목표

• 이전에 추가 소음에 대해서만 분석된 바 있었던, 곱셈형 소음에 의해 구동되는 비선형 스펙트럼 갈레르킨 근사의 약한 수렴 속도를 확립함으로써 문헌의 격차를 메운다.
• 기본적인 확률적 PDE 모형인 쌍곡형 앤더슨 모형에 대해 거의 날카로운 약한 수렴 속도를 도출한다.
• 상수일 필요가 없는 확산 계수를 갖는 곱셈형 소음이 있는 광범위한 비선형 스펙트럼 갈레르킨 근사에 적용 가능한 일반적 프레임워크를 개발한다.
• 강한 수렴 영역을 넘어서는 약한 수렴 분석을 온화한 이토 공식과 샤텐 노름 추정치를 활용하여 확장한다.

제안 방법

• 증명은 약한 오차를 결정론적 PDE의 해와 연결하기 위해 콜모고로프 방정식을 사용한다.
• 약한 오차 추정에서 두 번째 도함수의 성장률을 제어하기 위해 샤텐 노름에 대한 헬더 부등식을 사용한다.
• 갈레르킨 근사에 대한 사전 추정치를 유도하기 위해 온화한 이토 공식을 적용하여 해의 모멘트를 제어한다.
• 선형 연산자 −A와 관련된 일련의 보간 공간을 사용하여 해와 소음의 정(regularity)을 특성화한다.
• 비선형성 F와 B의 리프시츠 조건과 유계된 두 번째 도함수 조건을 활용하여 약한 수렴을 위한 충분한 매끄러움을 보장한다.
• 이 프레임워크를 소음 계수의 상태에 의존하는 경우에 적용하여 명시적인 수렴 속도를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럼 갈레르킨 근사에 대해 곱셈형 소음이 있는 비선형 스펙트럼 갈레르킨 근사의 약한 수렴 속도는 어떤가?
• RQ2 쌍곡형 앤더슨 모형에 대해 약한 수렴 속도가 거의 날카로운 것으로 확립될 수 있는가?
• RQ3 동일한 설정에서 알려진 강한 수렴 속도와 비교해 약한 수렴 속도는 어떻게 되는가?
• RQ4 약한 수렴 설정에서 비상수 확산 계수를 다루기 위해 필요한 분석 도구는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 곱셈형 소음이 있는 비선형 스펙트럼 갈레르킨 근사에 대해 약한 수렴 속도가 1−ε의 순서임을 확립한다. 이는 거의 날카로운 것이다.
• 쌍곡형 앤더슨 모형의 경우, 약한 수렴 속도는 알려진 강한 수렴 속도의 정확히 두 배이며, 이는 오랫동안 추측된 척도적 행동을 확인한다.
• 주요 정리(1.2)의 추정치는 임의의 ε > 0에 대해 약한 오차가 N^{ε−1}의 속도로 감소함을 보여주며, 이는 1에 매우 가까운 수렴 속도를 의미한다.
• 이 방법은 비상수 확산 계수(곱셈형 소음)를 효과적으로 처리하여 이전에 추가 소음에 국한된 결과를 확장한다.
• 콜모고로프 방정식과 샤텐 노름 추정치에 기반한 증명 프레임워크는 광범위한 비선형 스펙트럼 갈레르킨 근사에 적용 가능한 일반적인 것으로 나타났다.
• 결과는 쌍곡형 앤더슨 모형이 약한 수렴 속도 1−ε를 만족함을 확인하며, SPDE 수치 해석 분야에서 오랫동안 열려 있던 문제를 해결한다.