[논문 리뷰] Weak convergence rates of spectral Galerkin approximations for SPDEs with nonlinear diffusion coefficients

Daniel Conus, Arnulf Jentzen외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 05.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 46인용 수 44

한 줄 요약

이 논문은 밀리한 이토 유형 공식과 수정된 갈레르킨 과정을 기반으로 한 새로운 접근법을 사용하여, 몬시엔-칼라비스 미분 계수를 가진 반선형 스토크라스틱 편미분방정식(SPDEs)에 대한 스펙트럴 갈레르킨 근사의 본질적으로 날카로운 약한 수렴 속도를 확립한다. 이는 말리아빈 미분계산을 사용하지 않고도 이루어지며, 테스트 함수가 $C_b^4(H, \mathbb{R})$ 에 속할 경우 수렴 속도가 $\mathcal{O}(N^{-\gamma})$ 의 순서를 가지며, 여기서 $N$ 은 갈레르킨 사영의 차원이고 $\gamma$ 는 계수와 소음의 정규성에 따라 달라진다.

ABSTRACT

Strong convergence rates for (temporal, spatial, and noise) numerical approximations of semilinear stochastic evolution equations (SEEs) with smooth and regular nonlinearities are well understood in the scientific literature. Weak convergence rates for numerical approximations of such SEEs have been investigated since about 11 years and are far away from being well understood: roughly speaking, no essentially sharp weak convergence rates are known for parabolic SEEs with nonlinear diffusion coefficient functions; see Remark 2.3 in [A. Debussche, Weak approximation of stochastic partial differential equations: the nonlinear case, Math. Comp. 80 (2011), no. 273, 89-117] for details. In this article we solve the weak convergence problem emerged from Debussche's article in the case of spectral Galerkin approximations and establish essentially sharp weak convergence rates for spatial spectral Galerkin approximations of semilinear SEEs with nonlinear diffusion coefficient functions. Our solution to the weak convergence problem does not use Malliavin calculus. Rather, key ingredients in our solution to the weak convergence problem emerged from Debussche's article are the use of appropriately modified versions of the spatial Galerkin approximation processes and applications of a mild It\^{o} type formula for solutions and numerical approximations of semilinear SEEs. This article solves the weak convergence problem emerged from Debussche's article merely in the case of spatial spectral Galerkin approximations instead of other more complicated numerical approximations. Our method of proof extends, however, to a number of other kind of spatial, temporal, and noise numerical approximations for semilinear SEEs.

연구 동기 및 목표

• 비선형 미분 계수를 가진 반선형 SPDEs에 대한 공간 스펙트럴 갈레르킨 근사의 본질적으로 날카로운 약한 수렴 속도를 확립하는 데 장기적인 열린 문제를 해결한다.
• 디부쉬의 (2011) 연구에서처럼, 미분 계수의 이阶 도함수에 대한 제한적인 스무딩 조건이 필요한 이전 방법의 한계를 극복한다.
• 말리아빈 미분계산을 피하고, 수정된 갈레르킨 근사와 해 및 수치 근사에 대한 미약한 이토 유형 공식에 기반한 새로운 증명 전략을 개발한다.
• 유도된 약한 수렴 속도의 날카로움을 확인하기 위해 하한을 제공하여, 주어진 정규성 조건 하에서 이 속도를 향상시킬 수 없음을 보여준다.

제안 방법

• 비선형성이 미분 계수에 존재하는 경우를 다룰 수 있도록 표준 공간 갈레르킨 근사 과정의 적절한 수정된 형태를 도입한다.
• 해와 그 갈레르킨 근사 간의 약한 오차를 분석하기 위해 해와 근사에 대해 미약한 이토 유형 공식을 적용한다.
• 부드러운 비선형성으로의 변형을 통해 강한 수렴성을 확립하고, 이를 약한 수렴 속도 유도에 활용한다.
• 모든리피드 해와 원래 해를 포함하는 항들의 합으로 약한 오차를 새로운 방식으로 분해하며, 모멘트 추정과 이토 등식을 활용한다.
• 테스트 함수로 $\phi(x) = \exp(-\|x\|_H^2)$ 와 $\phi(x) = \|x\|_H^2$ 를 사용하여 약한 오차의 하한을 유도함으로써, 수렴 속도를 향상시킬 수 없음을 보여준다.
• 고유값과 소음 계수에서 거듭제곱 법칙에 따라 감쇠하는 명시적인 예를 구성하고, $N$ (갈레르킨 차원) 에 대한 명시적 하한을 유도함으로써 약한 수렴 속도의 날카로움을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 미분 계수를 가진 반선형 SPDEs에 대한 스펙트럴 갈레르킨 근사의 최적 약한 수렴 속도는 표준 정규성 조건 하에서 무엇인가?
• RQ2 말리아빈 미분계산이나 미분 계수의 이阶 도함수에 대한 제한적인 스무딩 조건 없이도 약한 수렴 속도를 확립할 수 있는가?
• RQ3 약한 수렴 속도는 초기 자료의 정규성, 선형 연산자, 그리고 소음 구조에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 유도된 약한 수렴 속도가 약한 오차의 하한을 통해 날카로움을 입증할 수 있는가?
• RQ5 약한 오차는 갈레르킨 사영의 차원 $N$ 에 따라 어떻게 달라지며, 이를 정확히 정량화할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $C_b^4(H, \mathbb{R})$ 에 속하는 테스트 함수에 대해 수렴 속도가 $\mathcal{O}(N^{-\gamma})$ 의 순서임을 입증하며, 여기서 $\gamma$ 는 계수와 소음의 정규성에 따라 달라지며, 이 속도는 본질적으로 날카로운 것으로 확인된다.
• 테스트 함수 $\phi(x) = \exp(-\|x\|_H^2)$ 에 대해 약한 오차는 하한 $\mathbb{E}[\phi(X_I^T)] - \mathbb{E}[\phi(X_H^T)] \gtrsim \mathbb{E}[\phi(X_H^T)] \cdot \frac{\mathbb{E}[\|X_{H\setminus I}^T\|^2_H]}{2(1 + \mathbb{E}[\|X_{H\setminus I}^T\|^2_H])^{3/2}}$ 을 만족하며, 이는 속도의 날카로움을 확인한다.
• 특정 예시에서 $\lambda_n = -\pi^2 n^2$ 이고 $\mu_n = |\lambda_n|^\delta$ 이며 $\delta < 1/4$ 라면, 약한 오차는 $\mathbb{E}[\phi(X_{\{b_1,\dots,b_N\}}^T)] - \mathbb{E}[\phi(X_H^T)] \gtrsim |\lambda_{b_N}|^{-(1 - 1/2 - 2\delta)} \cdot \text{const}$ 를 만족하며, 이는 $N$ 에 대한 명시적 의존성을 보여준다.
• 하한 분석을 통해 유도된 약한 수렴 속도는 향상시킬 수 없으며, 오차가 상한과 동일한 속도로 감쇠함을 확인한다.
• 이 방법은 스펙트럴 갈레르킨 근사 이외의 다른 수치적 방법, 예를 들어 유한요소법 또는 유한차분법으로도 확장 가능하며, 강건하다.
• 증명에서 말리아빈 미분계산이 사용되지 않은 것은 중요한 기술적 기여이며, 복잡한 확률 미분계산 도구를 피하고 분석을 단순화한다.