[논문 리뷰] Weak error estimates for trajectories of SPDEs for Spectral Galerkin discretization

Charles-Édouard Bréhier, Martin Hairer외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 스펙트럼 갈레르킨 근사에 의한 반선형 스토크라스틱 편미분방정식(SPDEs), 예를 들어 스토크라스틱 열 방정식과 감쇠된 파동 방정식에서, [0, T] 동안 전체 궤적을 근사할 때의 약한 오차가 두 조건을 만족할 경우 강한 오차율의 두 배가 됨을 확립한다: (1) 공분산 연산자가 생성자와 가환일 때, 그리고 (2) 비가환인 경우, 공분산 연산자와 생성자 간의 가환자 항을 분석함으로써. 핵심 기여는 이토 맵과 이차 테일러 전개를 사용하여 스토크라스틱 콘볼루션의 오차를 약한 수렴으로 이행하는 데 있다.

ABSTRACT

We consider stochastic semi-linear evolution equations which are driven by additive, spatially correlated, Wiener noise, and in particular consider problems of heat equation (analytic semigroup) and damped-driven wave equations (bounded semigroup) type. We discretize these equations by means of a spectral Galerkin projection, and we study the approximation of the probability distribution of the trajectories: test functions are regular, but depend on the values of the process on the interval $[0,T]$. We introduce a new approach in the context of quantative weak error analysis for discretization of SPDEs. The weak error is formulated using a deterministic function (Itô map) of the stochastic convolution found when the nonlinear term is dropped. The regularity properties of the Itô map are exploited, and in particular second-order Taylor expansions employed, to transfer the error from spectral approximation of the stochastic convolution into the weak error of interest. We prove that the weak rate of convergence is twice the strong rate of convergence in two situations. First, we assume that the covariance operator commutes with the generator of the semigroup: the first order term in the weak error expansion cancels out thanks to an independence property. Second, we remove the commuting assumption, and extend the previous result, thanks to the analysis of a new error term depending on a commutator.

연구 동기 및 목표

• 스펙트럼 갈레르킨 공간 이산화에 의한 SPDE의 전체 궤적에 대한 약한 수렴 속도를 도출함으로써, 고정된 시간점에서의 근사가 아닌 궤적 전체에 대한 분석을 목표로 한다.
• 연속 궤적의 공간 E = C([0, T], H)에서의 약한 오차 추정 문제를 해결함으로써, 점별 평가보다 더 복잡한 연속 궤적 공간에서의 약한 오차 분석을 목표로 한다.
• 유한차원 SDE에서 잘 알려진 '강한 오차율의 두 배' 결과를 공간적으로 관련된 가우시안 노이즈를 갖는 무한차원 SPDE로 확장함을 목표로 한다.
• 스토크라스틱 콘볼루션의 스펙트럼 근사와 약한 오차를 연결하기 위해 이토 맵과 이차 테일러 전개를 기반으로 한 새로운 분석 프레임워크를 개발함을 목표로 한다.
• 공분산 연산자가 생성자와 가환하지 않을 경우에도 약한 수렴 속도가 여전히 강한 수렴 속도의 두 배임을 보이기 위해, 새로운 가환자에 의존하는 오차 항을 분석함을 목표로 한다.

제안 방법

• 스토크라스틱 진화방정식 프레임워크를 사용하여 힐버트 공간에서 SPDE를 기술함: dX(t) = AX(t)dt + F(X(t))dt + dW_Q(t).
• 선형 연산자 A의 첫 N개 고유벡터에 대한 정규직교 프로젝션 P_N을 사용하여 스펙트럼 갈레르킨 투영을 적용함으로써 근사해 X_N를 도출한다.
• E = C([0, T], H)인 연속 궤적 공간에서 C_b^2(E, R)에 속하는 테스트 함수 ϕ를 사용하여 약한 오차를 정의한다.
• 스토크라스틱 콘볼루션(즉, F=0일 때)을 전체 해로 매핑하는 결정론적 이토 맵을 도입함으로써, 테일러 전개를 통한 오차 전이가 가능해진다.
• 이토 맵의 이차 테일러 전개를 사용하여 약한 오차를 스펙트럼 근사 오차가 포함된 항들로 분해한다.
• 비가환 케이스에서 나타나는 가환자 [B, P_N]을 분석하고, 인수분해 및 스토크라스틱 적분 기법을 통해 유도된 오차 과정의 모멘트 유계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럼 갈레르킨 이산화에 의한 SPDE 궤적에 대한 약한 수렴 속도가 공분산 연산자와 생성자 간의 가환성이 없더라도 강한 오차율의 두 배임을 보일 수 있는가?
• RQ2 기본적인 점별 약한 오차 기법이 실패하는 연속 궤적 공간에서의 약한 오차는 어떻게 분석할 수 있는가?
• RQ3 이토 맵은 스토크라스틱 콘볼루션의 오차를 전체 궤적의 약한 오차로 전이시키는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 비가환 케이스에서 가환자 항 [B, P_N]은 어떻게 제어하여 약한 수렴 속도를 유지할 수 있는가?
• RQ5 이러한 속도 두 배 현상이 성립하기 위해 필요한 노이즈 및 초기 조건의 정규성 및 적분 가능성 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 공분산 연산자가 A와 가환하지 않을 경우, 스펙트럼 갈레르킨 근사에 의한 SPDE의 약한 오차는 λ_N이 생성자의 N번째 고유값일 때, O(λ_N^{-(s_0 - s)/2}), O(λ_N^{-(1 - (s_F + s + ε)/2)}), 및 O(λ_N^{-(1/2 - s - ε)})의 합으로 유계진다. 여기서 λ_N은 생성자의 N번째 고유값이다.
• 공분산 연산자 Q가 생성자 A와 가환할 경우, 약한 오차 전개의 일阶항이 독립성 성질로 인해 소멸하여 깔끔한 속도 두 배 현상이 나타난다.
• 비가환 케이스에서, 가환자에 의해 유도된 오차 항이 새로운 유계: E∥ρ_N∥^2_{∞,s,T} ≤ C_{ε,s,T} λ_N^{-(1 - s - ε)} (모든 ε ∈ (0, 1/2 - s)에 대해)를 통해 제어됨을 증명함으로써 속도 두 배 현상이 유지됨을 보였다.
• 가환자 항의 유계는 인수분해 방법과 (t - r)^{-ε/2} 및 연산자 [B, P_N]을 포함하는 가우시안 과정의 모멘트 추정을 통해 도출되었다.
• 분석 결과, 노이즈 및 초기 조건에 대한 적절한 정규성 및 감쇠 조건 하에서, 비가환 케이스와 가환 케이스 양쪽 모두에서 약한 수렴 속도가 정확히 강한 수렴 속도의 두 배임을 확인하였다.
• 초기 조건과 테스트 함수가 충분히 정규일 경우, 이 결과는 포물형(SPDE, 예: 스토크라스틱 열 방정식) 및 쌍곡형(SPDE, 예: 감쇠된 파동 방정식) SPDE에 모두 적용된다.