[논문 리뷰] Weak Integer Additive Set-Indexers of Certain Graph Products

Sudev Naduvath, K. A. Germina|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 02.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 약한 IASI 그래프의 기본 그래프 곱—카티esian, 레크시코그래픽, 코로나, 루트된 곱—에서 약한 정수 덧셈 집합색인자(약한 IASIs)의 허용 가능성에 대해 조사한다. 이는 특정 레이블링 조건 하에서 이러한 곱이 약한 IASIs를 수용함을 입증하며, 코로나 곱과 루트된 곱의 여유 수를 위한 명시적 공식을 유도하여, 개별 그래프를 초월해 그래프 레이블링의 집합 인덱싱 이론을 확장한다.

ABSTRACT

An integer additive set-indexer is defined as an injective function $f:V(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ such that the induced function $g_f:E(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ defined by $g_f (uv) = f(u)+ f(v)$ is also injective, where $f(u)+f(v)$ is the sumset of $f(u)$ and $f(v)$. If $g_f(uv)=k \forall uv\in E(G)$, then $f$ is said to be a $k$-uniform integer additive set-indexers. An integer additive set-indexer $f$ is said to be a weak integer additive set-indexer if $|g_f(uv)|=max(|f(u)|,|f(v)|) \forall uv\in E(G)$. We have some characteristics of the graphs which admit weak integer additive set-indexers. We already have some results on the admissibility of weak integer additive set-indexer by certain graphs and finite graph operations. In this paper, we study further characteristics of certain graph products like cartesian product and corona of two weak IASI graphs and their admissibility of weak integer additive set-indexers and provide some useful results on these types of set-indexers.

연구 동기 및 목표

• 두 약한 IASI 그래프의 기본 그래프 곱이 약한 IASIs를 수용하는지 여부를 규명하는 것.
• 약한 IASIs가 그래프 곱에 일관되게 정의될 수 있는 조건을 규명하는 것.
• 약한 IASI 그래프의 코로나 곱과 루트된 곱에 대한 여유 수의 명시적 공식을 도출하는 것.
• 정수 덧셈 집합색인 이론을 복합 그래프 구조로 확장하는 것.

제안 방법

• 약한 IASI를 비균일한 정점 레이블링으로 정의하며, 비균일한 정점 레이블링은 비음이 아닌 정수의 부분집합으로 구성되며, 합집합 연산을 통한 유도된 간선 레이블링도 단사적이며, |f⁺(uv)| = max(|f(u)|, |f(v)|)를 만족한다.
• 원래 그래프의 레이블링 패턴을 복제하고 수정하여 그래프 곱의 정점 레이블링을 구성하며, 이에 따라 두 인접한 정점이 모두 단일집합 레이블을 가지지 않도록 보장한다.
• 카티esian 곱의 경우, 한 그래프의 복제본에서 정점 유형(단일지정 또는 아님)에 따라 레이블링 패턴을 번갈아 적용하여 약한 IASI 성질을 유지한다.
• 코로나 곱의 경우, G₁의 단일지정이 아닌 정점에 대응하는 G₂의 복제본에 1-균일 레이블링을 할당하고, 단일지정 정점에 연결된 복제본에는 정수 배수를 사용한다.
• 루트된 곱의 경우, G₂ 복제본의 집합 레이블을 G₁의 해당 정점의 인덱스로 확대하여 단사성과 약한 IASI 조건을 유지하도록 조정한다.
• 결과 레이블링 함수가 모든 간선에서 단사적이며 약한 IASI 조건을 만족함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 약한 IASI 그래프의 카티esian 곱이 약한 IASI를 수용할 조건은 무엇인가?
• RQ2 두 약한 IASI 그래프의 레크시코그래픽 곱에 대해 약한 IASI를 일관되게 정의할 수 있는가? 이를 보장하는 레이블링 규칙은 무엇인가?
• RQ3 두 약한 IASI 그래프의 코로나 곱에 대한 여유 수의 정확한 공식은 무엇인가?
• RQ4 두 약한 IASI 그래프의 루트된 곱이 약한 IASI 성질을 유지하는가? 그리고 레이블링은 체계적으로 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 원래 그래프의 순서, 크기, 정점 차수는 곱의 여유 수에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 두 약한 IASI 그래프의 카티esian 곱 G₁□G₂는 원래 그래프의 정점 유형에 따라 복제본 내에서 단일집합과 비단일집합 패턴을 번갈아 사용하는 레이블링을 통해 약한 IASI를 수용한다.
• 레크시코그래픽 곱 G₁⊙G₂는 G₁이 1-균일이거나, G₁의 비단일지정 정점 수 r에 대해 r개의 G₂ 복제본이 1-균일일 경우에만 약한 IASI를 수용한다.
• 코로나 곱 G₁⊙G₂의 여유 수는 r₁(1 + r₂) + (n₁ − r₁)m₂이며, 여기서 r₁과 r₂는 각각 G₁과 G₂의 단일지정 정점 수이다.
• G₂⊙G₁의 여유 수는 r₂(1 + r₁) + (n₂ − r₂)m₁이며, 곱의 순서에 따라 공식이 비대칭적임을 보여준다.
• 두 약한 IASI 그래프의 루트된 곱 G₁∘G₂는 G₂ 복제본의 집합 레이블을 G₁의 해당 정점의 인덱스로 확대함으로써 약한 IASI를 수용한다. 루트 정점의 레이블링 처리에 특수한 조치가 필요하다.
• 결과적으로 약한 IASI 성질이 여러 기본 그래프 곱에서 유지되며, 코로나 곱과 루트된 곱에 대해 여유 수의 정확한 공식이 도출됨을 보여준다.