[논문 리뷰] Weak Multiplier Hopf Algebras. Preliminaries, motivation and basic examples

Alfons Van Daele, Shuanhong Wang|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 15.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 군oids의 작용을 바탕으로 하여, 다중형 Hopf 대수와 약한 Hopf 대수의 일반화로 약한 다중형 Hopf 대수를 도입한다. 군oids 위의 유한 지지 복소 함수로 구성된 대수 $A = K(G)$를 사용하며, 군oids의 곱이 정의되지 않을 경우 0이 되는 코프로덕트를 정의한다. 주요 기여는 다중형 대수에서의 코아소시아티비티와 확장의 유일성의 확립으로, 코프로덕트가 $(\Delta \otimes \iota)\Delta = (\iota \otimes \Delta)\Delta$를 만족함을 아이디포텐트 관계를 통해 보인다.

ABSTRACT

Let $G$ be a {\it finite group}. Consider the algebra $A$ of all complex functions on G (with pointwise product). Define a coproduct $Δ$ on A by $Δ(f)(p,q)=f(pq)$ where $f\in A$ and $p,q\in G$. Then $(A,Δ)$ is a Hopf algebra. If $G$ is only a {\it groupoid}, so that the product of two elements is not always defined, one still can consider $A$ and define $Δ(f)(p,q)$ as above when $pq$ is defined. If we let $Δ(f)(p,q)=0$ otherwise, we still get a coproduct on $A$, but $Δ(1)$ will no longer be the identity in $A\ot A$. The pair $(A,Δ)$ is not a Hopf algebra but a weak Hopf algebra. If $G$ is a {\it group}, but {\it no longer finite}, one takes for $A$ the algebra of functions with finite support. Then $A$ has no identity and $(A,Δ)$ is not a Hopf algebra but a multiplier Hopf algebra. Finally, if $G$ is a {\it groupoid}, but {\it not necessarily finite}, the standard construction above, will give, what we call in this paper, a weak multiplier Hopf algebra. Indeed, this paper is devoted to the development of this 'missing link': {\it weak multiplier Hopf algebras}. We spend a great part of this paper to the motivation of our notion and to explain where the various assumptions come from. The goal is to obtain a good definition of a weak multiplier Hopf algebra. Throughout the paper, we consider the basic examples and use them, as far as this is possible, to illustrate what we do. In particular, we think of the finite-dimensional weak Hopf algebras. On the other hand however, we are also inspired by the far more complicated existing analytical theory. In forthcoming papers on the subject, we develop the theory further.

연구 동기 및 목표

• 비단위, 무한차원 설정에서의 Hopf 대수 이론을 일반화하기 위해.
• 곱이 부분적으로만 정의된 경우를 고려한 군oids 기반의 구성으로 약한 다중형 Hopf 대수의 개념을 체계화하기 위해.
• 다중형 대수에서의 코아소시아티비티와 확장의 유일성과 같은 기본 성질을 확립하기 위해.
• 특히 유한 군oids와 집합 위의 군 작용을 통해 구체적인 예를 제시하여 공리 체계를 동기화하기 위해.
• 향후 논문에서 소스/타겟 사상, 적분, 쌍대성 이론의 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 무한 군oids $G$에 대해 유한 지지 복소 함수의 대수 $A = K(G)$를 구성하며, $G$가 무한할 경우 비단위 대수가 된다.
• 코프로덕트 $\Delta(f)(p,q) = f(pq)$를 정의하며, $pq$가 정의되지 않으면 0이 되고, 이는 $A$에서 다중형 대수 $M(A \otimes A)$로 사상한다.
• 다중형 대수 $M(A \otimes A)$ 내의 아이디포텐트 $E = \Delta(1)$를 사용하여 코프로덕트의 비단위 성격을 기술하며, 모든 $a \in A$에 대해 $E\Delta(a) = \Delta(a) = \Delta(a)E$를 만족시킨다.
• 확장의 유일성에 의해 다중형 대수의 코아소시아티비티를 증명함으로써 $(\Delta \otimes \iota)\Delta = (\iota \otimes \Delta)\Delta$를 보인다.
• $(\Delta \otimes \iota)(E) = (\iota \otimes \Delta)(E)$임을 증명하며, 이 공통 값은 $(E \otimes 1)(1 \otimes E)$와 같음을 보이며, 이는 $E \otimes 1$과 $1 \otimes E$의 교환 가능성을 암시한다.
• 다중형 대수의 구조를 활용하여 $A$에서 $M(A \otimes A \otimes A)$로의 사상의 확장을 보장하며, 일관성과 유일성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분적으로 정의된 군oids 곱으로부터 유도되는 비단위, 무한차원 대수에 대해 Hopf 대수 이론을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 이 넓은 설정으로 다중형 Hopf 대수와 약한 Hopf 대수를 일반화하기 위해 필요한 충분한 공리는 무엇인가?
• RQ3 코프로덕트가 $A \otimes A$에 값이 있지 않을 경우, 다중형 대수에서 코아소시아티비티는 어떻게 유지되는가?
• RQ4 아이디포텐트 $E = \Delta(1)$는 코프로덕트의 구조와 그 확장의 특성을 기술하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 $E \otimes 1$과 $1 \otimes E$가 어떤 조건에서 교환 가능하며, $(\Delta \otimes \iota)(E) = (E \otimes 1)(1 \otimes E)$가 성립하는가?

주요 결과

• 코프로덕트 $\Delta$는 $A$에서 $M(A \otimes A)$로의 준동형이며, 다중형 대수에서 $(\Delta \otimes \iota)\Delta = (\iota \otimes \Delta)\Delta$가 성립함을 확장의 유일성에 의해 증명된다.
• 아이디포텐트 $E = \Delta(1)$는 모든 $a \in A$에 대해 $E\Delta(a) = \Delta(a) = \Delta(a)E$를 만족하며, 이는 약한 다중형 대수의 구조를 반영한다.
• $E \otimes 1$과 $1 \otimes E$는 $M(A \otimes A \otimes A)$에서 교환 가능하며, $(\iota \otimes \Delta)(E) = (1 \otimes E)(E \otimes 1)$이 성립함을 보이며, 이는 공통 값이 둘 다 이하인 최대 아이디포텐트임을 나타낸다.
• $(\Delta \otimes \iota)(E) = (\iota \otimes \Delta)(E)$라는 등식이 성립하며, 이는 확장된 코프로덕트의 코아소시아티비티를 증명하는 데 필수적이다.
• 유한 군oids, 집합 위의 군 작용, 약한 Hopf 대수 등 다양한 예시에서 결과가 일관되며, 공리 체계가 잘 동기화되어 있음을 확인한다.
• 현재까지 알려진 예시 중에서 $E \otimes 1$과 $1 \otimes E$가 교환되지 않거나 $(\Delta \otimes \iota)(E)$와 $(E \otimes 1)(1 \otimes E)$가 다를 경우가 없으며, 이는 이 성질들이 구조 자체의 본질적 특성일 가능성이 높다.