[논문 리뷰] Weakly and Strongly Aperiodic Subshifts of Finite Type on Baumslag-Solitar Groups.

Julien Esnay, Etienne Moutot|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 06.

Cellular Automata and Applications참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 바움슬라그-솔리터 군에서 유한형 하위시프트(SFTs)의 주기성을 조사하며, 잔여적으로 유한한 BS 군의 경우 강한 비주기성과 약한 비주기성(그러나 강한 비주기성은 아님)을 갖는 SFTs가 모두 존재함을 보여준다. 아브룬과 카리가 $BS(m,n)$에서 제안한 약한 비주기성 SFT는 실제로 $BS(1,n)$에서 강한 비주기성을 갖는다. 또한 $BS(1,n)$에서 약하지만 강한 비주기성을 갖지 않는 SFT를 별개로 구성하였으며, $BS(n,n)$에서 강한 비주기성 SFT가 존재한다는 것을 증명함으로써, 이러한 군들 내에서 약한 주기성과 강한 주기성 간의 차이를 드러냈다.

ABSTRACT

We study the periodicity of subshifts of finite type (SFT) on Baumslag-Solitar groups. We show that for residually finite Baumslag-Solitar groups there exist both strongly and weakly-but-not-strongly aperiodic SFTs. In particular, this shows that unlike $\mathbb{Z}^2$, but as $\mathbb{Z}^3$, the notions of strong and weak periodicity are different for residually finite BS groups. More precisely, we prove that the weakly aperiodic SFT on $BS(m,n)$ presented by Aubrun and Kari is in fact strongly aperiodic on $BS(1,n)$. In addition, we exhibit an SFT which is weakly but not strongly aperiodic on $BS(1,n)$. Finally, we show that there exists a strongly aperiodic SFT on $BS(n,n)$.

연구 동기 및 목표

• Baumslag-Solitar 군에서 유한형 하위시프트(SFTs)의 비주기성 존재성과 성질을 조사하는 것.
• 잔여적으로 유한한 Baumslag-Solitar 군에서 SFTs의 약한 주기성과 강한 주기성 간의 차이를 명확히 하는 것.
• $BS(m,n)$에서 약한 비주기성 SFT가 강한 비주기성을 갖는지, 특히 $BS(1,n)$에서 그러한가를 판단하는 것.
• $BS(1,n)$에서 약하지만 강한 비주기성을 갖지 않는 SFT의 구체적 예를 구성하는 것.
• $BS(n,n)$에서 강한 비주기성 SFT의 존재를 확립하는 것.

제안 방법

• 잔여적으로 유한한 Baumslag-Solitar 군 $BS(m,n)$의 구조를 분석하여 SFTs의 주기성 성질을 평가하는 것.
• 아브룬과 카리가 $BS(m,n)$에서 제안한 약한 비주기성 SFT의 구성법을 재해석하고, 특히 $BS(1,n)$에 대해 재평가하는 것.
• $BS(1,n)$의 군론적 성질, 예를 들어 반직접곱으로서의 구조를 적용하여 주기성 분석을 수행하는 것.
• 특정 타일 집합과 제약 조건을 사용하여 $BS(1,n)$에서 약한 비주기성은 갖지만 강한 비주기성은 갖지 않는 새로운 SFT를 구성하는 것.
• 조합론적 및 군론적 추론을 통해 $BS(n,n)$에서 강한 비주기성 SFT의 존재를 증명하는 것.
• $BS(1,n)$에서 SFT의 행동을 $\mathbb{Z}^2$ 및 $\mathbb{Z}^3$에서의 알려진 결과와 비교하여 주기성에서의 차이를 부각하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $BS(m,n)$에서 약한 비주기성 SFT는 반드시 강한 비주기성을 갖는가, 특히 $BS(1,n)$에서 그러한가?
• RQ2 $\mathbb{Z}^3$에서 관찰된 약한 주기성과 강한 주기성의 차이가 잔여적으로 유한한 Baumslag-Solitar 군에서도 발생하는가?
• RQ3 $BS(1,n)$에서 하위시프트의 유한형 타입이 약한 비주기성을 갖지만 강한 비주기성을 갖지 않는 경우가 존재하는가?
• RQ4 $BS(n,n)$에서 강한 비주기성 SFT가 존재하는가, 만약 존재한다면 어떻게 구성되는가?
• RQ5 $BS(1,n)$에서 SFT의 주기성 성질은 $\mathbb{Z}^2$ 및 $\mathbb{Z}^3$에서의 성질과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 아브룬과 카리가 $BS(m,n)$에서 제안한 약한 비주기성 SFT는 $BS(1,n)$에서 강한 비주기성을 갖는다는 것이 입증되었으며, 이는 이 설정에서 주기성에 관한 핵심 질문을 해결한다.
• $BS(1,n)$에서 약한 비주기성은 갖지만 강한 비주기성은 갖지 않는 새로운 SFT가 명시적으로 구성되었으며, 이는 이 군에서 약한 비주기성과 강한 비주기성 간의 엄밀한 분리가 있음을 입증한다.
• $BS(1,n)$에서는 약한 주기성과 강한 주기성의 개념이 서로 다름을 확인하였으며, 이는 $\mathbb{Z}^2$와는 다를 뿐 아니라 이와 유사하게 $\mathbb{Z}^3$의 행동과 더 밀접하게 일치함을 시사한다.
• $BS(n,n)$에서 강한 비주기성 SFT가 존재함을 입증하였으며, 이는 이 군 계열에서 이러한 시스템의 존재를 확인한다.
• 결과적으로 잔여적으로 유한한 Baumslag-Solitar 군은 강한 비주기성 SFT와 약하지만 강한 비주기성을 갖지 않는 SFT를 모두 수용하며, 이는 그들의 역학적 행동에서의 구조적 다양성을 드러낸다.