[논문 리뷰] Weighted thermodynamic formalism and applications

Julien Barral, De‐Jun Feng|ArXiv.org|2009. 09. 23.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 45인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 비선형 동역계에서의 점근적 부분가역 잠재력에 대해 가중치를 부여한 열역학적 체계를 제안하며, 시스템의 동역학과 그 요약 사상(factor map)을 모두 고려하기 위해 쌍 (a,b)의 가중치를 사용하여 가중치가 부여된 위상 압력을 정의한다. 주요 기여는 유계 왜곡 조건 하에서 평형 상태에 대한 가중치가 부여된 변분원리, 유일성, 그리고 길버스 성질의 확립으로, 이는 비등각적 설정에서 비르호프 평균의 다중분포 분석과 불변 집합의 차원 추정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Let $(X,T)$ and $(Y,S)$ be two subshifts so that $Y$ is a factor of $X$. For any asymptotically sub-additive potential $Φ$ on $X$ and $\ba=(a,b)\in\R^2$ with $a>0$, $b\geq 0$, we introduce the notions of $\ba$-weighted topological pressure and $\ba$-weighted equilibrium state of $Φ$. We setup the weighted variational principle. In the case that $X, Y$ are full shifts with one-block factor map, we prove the uniqueness and Gibbs property of $\ba$-weighted equilibrium states for almost additive potentials having the bounded distortion properties. Extensions are given to the higher dimensional weighted thermodynamic formalism. As an application, we conduct the multifractal analysis for a new type of level sets associated with Birkhoff averages, as well as for weak Gibbs measures associated with asymptotically additive potentials on self-affine symbolic spaces.

연구 동기 및 목표

• 비선형 시스템, 특히 자기-어핀 기호 동역계에 대해 고전적 열역학적 체계를 확장하는 가중치가 부여된 열역학적 체계를 개발하는 것.
• 고전적 열역학적 체계가 비등각적 불변 집합과 측도의 기하적 성질을 포괄하지 못하는 한계를 해결하는 것.
• 시스템의 동역학과 그 요약 사상에 모두 반영된 a-가중치 엔트로피를 사용하여 변분원리를 확립하는 것.
• 유계 왜곡 조건을 만족하는 거의 가역 잠재력에 대해 가중치가 부여된 평형 상태의 유일성과 길버스 성질을 증명하는 것.
• 이 프레임워크를 활용해 비르호프 평균의 수준 집합과 자기-어핀 설정에서의 불변 부분집합의 하우스도르프 차원을 계산하는 것.

제안 방법

• 요약 사상 $ \pi $를 고려하여, 모든 불변 측도에 대해 $ \Phi_*(\eta) + a h_\eta(T) + b h_{\eta \circ \pi^{-1}}(S) $의 상한으로서 a-가중치 위상 압력 $ P^{{\bf a}}(T,\Phi) $를 정의한다.
• 시스템과 그 요약의 엔트로피를 결합한 a-가중치 엔트로피 $ h^{{\bf a}}_\mu(T) = a h_\mu(T) + b h_{\mu \circ \pi^{-1}}(S) $를 정의한다.
• 거의 가역 잠재력의 유계 왜곡 성질을 활용하여 실린더 집합 측도의 渐近적 행동을 제어한다.
• 에르고딕 측도에 대해 레드라피에-영 형식의 공식 $ \dim_H \nu = h^{{\bf a}}_\nu(T) $를 적용하여 차원과 가중치가 부여된 엔트로피를 연결한다.
• 근사 측도의 수열과 준-베르누이 성질을 활용하여 근사 잠재력에서의 길버스 성질을 극한 잠재력으로 확장한다.
• 가중치가 부여된 압력 함수 $ P^{{\bf a}}(T, q\phi) $의 레지오르드 변환을 유도하여 다중분포 수준 집합의 하우스도르프 차원을 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 체계가 실패하는 비등각적 동역계를 다룰 수 있는 가중치가 부여된 열역학적 체계를 구성할 수 있는가?
• RQ2 a-가중치 압력이 가중치 엔트로피와 잠재력 평균을 연결하는 변분원리를 만족하는가?
• RQ3 유계 왜곡 조건을 만족하는 거의 가역 잠재력에 대해 a-가중치 평형 상태는 유일하고 길버스 성질을 갖는가?
• RQ4 가중치가 부여된 압력 함수 $ P^{{\bf a}}(T, q\phi) $는 미분 가능성이 있으며, 이는 레지오르드 변환 기법의 적용을 가능하게 하는가?
• RQ5 임의의 불변 측도에 대해 일반점 집합의 하우스도르프 차원은 얼마이며, a-가중치 엔트로피와 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• a-가중치 위상 압력 $ P^{{\bf a}}(T,\Phi) $는 변분원리를 만족한다: 모든 불변 측도 $ \eta $에 대해 $ \Phi_*(\eta) + a h_\eta(T) + b h_{\eta \circ \pi^{-1}}(S) $의 상한과 같다.
• 일반적인 블록 요약 사상이 있는 전이 공간에서 유계 왜곡 조건을 만족하는 거의 가역 잠재력에 대해 a-가중치 평형 상태는 유일하며 길버스 성질을 만족한다.
• 가중치가 부여된 압력 함수 $ P^{{\bf a}}(T, q\phi) $는 $ q $에 대해 미분 가능하며, 이는 다중분포 분석에서 레지오르드 변환 기법의 적용을 가능하게 한다.
• 수준 집합 $ \{ x : \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \phi(T^i x) = t \} $의 하우스도르프 차원은 $ P^{{\bf a}}(T, q\phi) $의 레지오르드 변환으로 주어진다.
• 모든 에르고딕 측도 $ \nu $에 대해 하우스도르프 차원은 $ \dim_H \nu = h^{{\bf a}}_\nu(T) $를 만족하며, 이는 가중치가 부여된 설정에서 레드라피에-영 형식의 공식을 확립한다.
• 임의의 불변 측도 $ \mu $의 일반점 집합에 대한 하우스도르프 차원의 날카운 하한은 $ h^{{\bf a}}_\mu(T) $이며, 이 하한은 도달 가능하다.