[논문 리뷰] Well-posedness Properties for a Stochastic Rotating Shallow Water Model

Dan Crisan, Oana Lang|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Stochastic Advection by Lie Transport (SALT)를 통해 유도된 소음에 의해 구동되는 확률적 회전 얕은 수면(SRSW) 모델의 잘 정의됨을 입증한다. 이는 해의 해에 대한 소음 계수의 비리프시츠 의존성에도 불구하고 성립한다. 유일한 최대 해가 초깃값에 대해 연속적으로 의존함을 증명하였으며, 비록 소음 조건이 빈약하더라도 양의 확률 집합에서 전역 존재가 거의 확실히 성립함을 보였다.

ABSTRACT

In this paper, we study the well-posedness properties of a stochastic rotating shallow water system in which the noise is chosen according to the Stochastic Advection by Lie Transport (SALT) theory. The system is perturbed by noise modulated by a function that is not Lipschitz in the norm where the well-posedness is sought. We show that the system admits a unique maximal strong solution which depends continuously on the initial condition. We also show that the interval of existence is strictly positive and the solution is global with positive probability.

연구 동기 및 목표

• Stochastic Advection by Lie Transport (SALT)로부터 파생된 소음에 의해 교란되는 확률적 회전 얕은 수면(SRSW) 시스템의 잘 정의됨을 확립하는 것.
• 해의 노름에서 비리프시츠가 아닐 경우 강한 경로별 해의 존재성과 유일성을 분석하는 것.
• 해가 초깃값에 대해 연속적으로 의존하고, 양의 확률에서 전역 존재함을 증명하는 것.
• 비선형적이고 회전하는 얕은 수면 시스템에 대해, 결정론적 및 확률적 성분을 포함한 비리프시츠 소음의 도전 과제를 다루는 것.

제안 방법

• SRSW 시스템은 Itô 형태로 기술되며, 확률적 항은 기하학적 구조를 유지하기 위해 SALT 이론에 기반한다.
• 비리프시츠 소음을 다루기 위해 SRSW 시스템에 절단 절차를 적용하여 표준 확률적 PDE 기법의 사용을 가능하게 한다.
• 에너지 방법과 Itô 공식을 사용하여 절단된 시스템에서 소볼레프 노름(H^1 및 H^2)에 대한 사전 추정을 도출한다.
• 비선형 항에 대한 경계와 소음 계수의 구조를 활용하여 절단된 시스템에서 경로별 유일성을 확립한다.
• 소볼레프 공간에서 모멘트 추정과 타이트성 추론을 통해 근사 수열의 상대적 컴acts를 증명한다.
• 적절한 사전 추정에 기반해 폭발 시간이 거의 확실히 무한함을 보여, 양의 확률에서 전역 해를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비리프시츠 소음 계수를 갖는 SRSW 시스템은 초깃값에 대해 연속적으로 의존하는 유일한 최대 해를 갖는가?
• RQ2 소음 계수의 리프시츠 연속성이 부족함에도 불구하고 SRSW 시스템의 전역 존재를 확보할 수 있는가?
• RQ3 SALT 소음 하에서의 회전 얕은 수면 프레임워크에서 해의 정칙성과 장기적 행동은 어떠한가?
• RQ4 SALT 소음 구조는 확률적 얕은 수면 방정식의 잘 정의됨 성질에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ5 해의 노름에서 비리프시츠일 경우, 해가 양의 확률에서 전역적으로 연장될 수 있는가?

주요 결과

• 비리프시츠 소음 계수를 갖는 SRSW 시스템은 초깃값에 대해 연속적으로 의존하는 유일한 최대 해를 갖는다.
• 해는 양의 확률에서 전역 존재하며, 폭발 시간이 거의 확실히 무한함을 의미한다.
• H^1 및 H^2 노름에서의 사전 추정이 도출되었으며, 이는 폭발 시간까지 해가 이 노름 공간에서 유계로 유지됨을 보여준다.
• 절단된 시스템은 경로별 유일성을 보이며, 이는 유일한 강한 해 존재를 증명하는 데 필수적이다.
• 모멘트 유계와 소볼레프 임bedding을 통해 근사 수열의 상대적 컴acts가 확립되었으며, 이는 전역 해 수렴을 가능하게 한다.
• 소음 계수의 비리프시츠 성격은 잘 정의됨을 방해하지 않으며, SALT 소음의 구조와 에너지 추정이 부족한 정칙성 보완에 기여한다.