[논문 리뷰] Wellposedness of Second Order Backward SDEs

H. Meté Soner, Nizar Touzi외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 31.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비정규화된 상호로 비례하지 않는 확률측도의 가족을 통해 고전적인 BSDE를 완전히 비선형 PDE로 확장함으로써, 두 번째 차수의 후행 SDE(2BSDE)에 대한 완전한 존재성 및 유일성 이론을 수립한다. 주요 기여는 완전히 비선형적인 페인만-카프 공식과 최적제어 해석에 기반한 확률적 표현으로, 적절한 조건 하에서 마코비안 2BSDE 해가 완전히 비선형 PDE의 점성해임을 증명한다.

ABSTRACT

We provide an existence and uniqueness theory for an extension of backward SDEs to the second order. While standard Backward SDEs are naturally connected to semilinear PDEs, our second order extension is connected to fully nonlinear PDEs, as suggested by Cheridito et.al. In particular, we provide a fully nonlinear extension of the Feynman-Kac formula. Unlike the earlier papers, the alternative formulation of this paper insists that the equation must hold under a non-dominated family of mutually singular probability measures. The key argument is a stochastic representation, suggested by the optimal control interpretation, and analyzed in our accompanying paper

연구 동기 및 목표

• 완전히 비선형 PDE 영역에서 두 번째 차수의 후행 SDE(2BSDE)에 대한 열린 존재 문제를 해결하기 위해.
• 두 번째 차수의 SDE 프레임워크를 통해 고전적인 페인만-카프 공식을 완전히 비선형 PDE로 확장하기 위해.
• 최적제어 해석과 비정규화된 확률측도를 활용하여 2BSDE 해에 대한 확률적 표현을 수립하기 위해.
• 적절한 조건 하에서 마코비안 2BSDE 해가 완전히 비선형 PDE의 점성해임을 증명하기 위해.
• 해결이론을 매끄럽지 않은 종단 조건을 초과하여 확장하기 위해 유계 유일연속 함수의 닫힘을 적절한 노름 하에 정의하기 위해.

제안 방법

• 비정규화된 상호로 비례하지 않는 확률측도의 가족에 대해 거의 확실히 성립하는 2BSDE의 새로운 공식화를 도입하기 위해.
• 펜의 G-확률적 해석과 데니스 및 마르티니의 준확실한 분석에 영감을 얻어 최적제어 이론에서 유도된 확률적 표현을 사용하기 위해.
• 특정 노름 하에서 유계 유일연속 함수의 닫힘으로서 해 공간을 정의하여, 더 덜 규칙적인 종단 조건으로의 확장을 가능하게 하기 위해.
• 사전 추정을 도출하기 위해 마틴갈 표현과 확률적 지수를 통한 기리산프 유사 변환을 적용하기 위해.
• 국소화와 이토의 공식을 사용하여 해 과정에 대한 사전 추정을 유도함으로써 적분 가능성과 안정성을 확보하기 위해.
• 유계 유일연속 종단 데이터를 가진 2BSDE의 수열의 극한으로서 해를 구성함으로써 존재성을 근사 방법을 통해 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체리디토 등(2007)의 존재 결과를 초월하여 두 번째 차수의 후행 SDE에 대한 잘 정의된 이론을 수립할 수 있는가?
• RQ2 2BSDE와 완전히 비선형 PDE 사이의 연결을 어떻게 정의할 수 있으며, 이를 통해 고전적인 페인만-카프 공식을 일반화할 수 있는가?
• RQ3 서로 다른 상호로 비례하지 않는 측도의 비정규화된 가족이 해의 유일성과 강건성 보장에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 마코비안 2BSDE의 해가 완전히 비선형 PDE의 점성해로 특징지어질 수 있는가?
• RQ5 유계 유일연속 종단 조건에서부터 더 넓은 랜덤 변수의 클래스로의 해결 이론을 어떻게 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 서로 다른 상호로 비례하지 않는 비정규화된 확률측도의 가족 하에서 두 번째 차수의 후행 SDE에 대한 해의 존재성과 유일성을 수립한다.
• 완전히 비선형적인 페인만-카프 공식의 확장이 증명되었으며, 이는 2BSDE를 완전히 비선형 PDE의 점성해와 연결한다.
• 적절한 정규성 및 유계 조건 하에서 마코비안 2BSDE의 해가 해당 완전히 비선형 PDE의 점성해임이 입증된다.
• 해 공간은 적절한 노름 하에서 유계 유일연속 함수의 닫힘으로 정의되어, 더 덜 규칙적인 종단 데이터로의 확장을 가능하게 한다.
• 이토의 공식과 확률적 지수 변환을 통해 사전 추정이 도출되었으며, 이는 해 과정의 유계성과 적분 가능성을 보장한다.
• 유계 유일연속 종단 조건을 가진 근사 수열의 극한으로서 해가 구성되었으며, 일반화된 해 공간 내 존재성이 근사 방법을 통해 증명되었다.