[논문 리뷰] Wellposedness of Second Order Master Equations for Mean Field Games with Nonsmooth Data

Chenchen Mou, Jianfeng Zhang|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 24.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 42인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 측도 변수에서의 미분 가능성 없음 조건 하에, 단조성 조건 하에 세 가지 새로운 해 개념—좋은 해, 약한 해, 약한-비산형 해—를 도입하여 평균장 게임에서 이阶 마스터 방정식의 잘 정의됨을 확립한다. 미분 가능성 없이도 측도 변수에서의 균일 리프시츠 추정을 통해 전역 존재성과 유일성을 증명하며, N-플레이어 내쉬 시스템의 수렴성과 확산의 보편성도 약한 정규성 조건 하에서 검증한다.

ABSTRACT

In this paper we study second order master equations arising from mean field games with common noise over arbitrary time duration. A classical solution typically requires the monotonicity condition (or small time duration) and sufficiently smooth data. While keeping the monotonicity condition, our goal is to relax the regularity of the data, which is an open problem in the literature. In particular, we do not require any differentiability in terms of the measures, which prevents us from obtaining classical solutions. We shall propose three weaker notions of solutions, named as {\it good solutions}, {\it weak solutions}, and {\it weak-viscosity solutions}, respectively, and establish the wellposedness of the master equation under all three notions. We emphasize that, due to the game nature, one cannot expect comparison principle even for classical solutions. The key for the global (in time) wellposedness is the uniform a priori estimate for the Lipschitz continuity of the solution in the measures. The monotonicity condition is crucial for this uniform estimate and thus is crucial for the existence of the global solution, but is not needed for the uniqueness in such Lipschitz class. To facilitate our analysis, we construct a smooth mollifier for functions on Wasserstein space, which is new in the literature and is interesting in its own right. Following the same approach of our wellposedness results, we prove the convergence of the Nash system, a high dimensional system of PDEs arising from the corresponding $N$-player game, under mild regularity requirements. We shall also prove a propagation of chaos property for the associated optimal trajectories.

연구 동기 및 목표

• 측도 변수에서의 부드러움이 없는 경우에 대해 이阶 마스터 방정식의 잘 정의됨 문제를 해결하기 위해.
• 기존의 정규성 요구 조건(예: 측도에서의 미분 가능성)을 완화하면서도 전역 해법 유지를 위해.
• 최소한의 정규성 가정 하에 N-플레이어 내쉬 시스템의 수렴성과 확산의 보편성 확립을 위해.
• 확률 측도 위에서의 분석을 위한 새로운 기법으로, 와서슈타인 공간 위에 새로운 부드러운 모폴리피어를 개발하기 위해.
• 단조성 조건을 활용하여 측도 변수에서의 리프시츠 연속성에 대한 균일 사전 추정을 통해 전역 잘 정의됨을 증명하기 위해.

제안 방법

• 고전적 해가 실패하는 비부드러운 데이터를 다루기 위해, 좋은 해, 약한 해, 약한-비산형 해라는 세 가지 새로운 해 개념을 도입한다.
• 해의 측도 변수에서의 리프시츠 연속성에 대한 균일 사전 추정을 확립하며, 이는 전역 존재성의 핵심이다.
• 확률 측도 위에서 정의된 함수를 정규화하기 위해, 와서슈타인 공간 위에 새로운 부드러운 모폴리피어를 구축한다.
• 전진-후행 확률적 미분 방정식(FBSDEs)과 확률적 표현을 이용해 핵심 추정을 도출한다.
• 부분적 통합과 조건부 기대값을 활용해 내쉬 시스템의 기울기 추정을 유도한다.
• 공간의 분할과 모멘트 유계를 활용해 경험 측도 수렴을 제어하고, 와서슈타인 거리 추정을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측도 변수에서의 미분 가능성 없음 조건 하에 이阶 마스터 방정식의 잘 정의됨을 확립할 수 있는가?
• RQ2 평균장 게임 마스터 방정식에서 비부드러운 데이터에 적합한 해 개념은 무엇이며, 고전적 해와의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ3 고전적 해가 존재하지 않을 경우에도 단조성 조건이 전역 존재성에 필수적인가?
• RQ4 약한 정규성 조건 하에서 N-플레이어 내쉬 시스템이 마스터 방정식으로 수렴하는가를 증명할 수 있는가?
• RQ5 이러한 완화된 가정 하에서 N-플레이어 게임의 최적 궤적에 대해 확산의 보편성이 성립하는가?

주요 결과

• 논문은 측도 변수에서의 미분 가능성 없이도, 좋은 해, 약한 해, 약한-비산형 해라는 세 가지 새로운 해 개념을 통해 마스터 방정식의 전역 잘 정의됨을 확립한다.
• 해의 측도 변수에서의 리프시츠 연속성에 대한 균일 사전 추정이 증명되었으며, 이는 전역 존재성의 핵심이며, 단조성 조건이 이 추정에 필수적임을 보여준다.
• 단조성 조건은 존재성에 필수적이지만, 리프시츠 해 클래스 내에서는 유일성에 필수적이지 않다.
• 와서슈타인 공간 위에 새로운 부드러운 모폴리피어가 구축되었으며, 이는 독립적인 관심을 끄는 새로운 기법적 기여이다.
• 약한 정규성 가정 하에서 내쉬 시스템이 마스터 방정식으로 수렴함을 증명하였으며, 이는 이전 결과를 비부드러운 데이터로 확장한 것이다.
• 최적 궤적에 대해 확산의 보편성이 확립되었으며, 적절한 모멘트 조건 하에서 경험 측도와 진짜 측도 사이의 와서슈타인 거리가 O(1/√N) 속도로 감소함을 보였다.