[논문 리뷰] What do QAOA energies reveal about graphs?

Márió Szegedy|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 27.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 28인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 매개변수 최적화 없이 QAOA 에너지를 사용하여 그래프 구조 탐색을 제안하며, 3-정규 그래프에서 정점 수와 삼각형 밀도와 같은 위상적 특성을 드러낸다. QAOA 에너지는 크기 18 이하의 비동형 3-정규 그래프와 크기 26 이하의 강한 정규 그래프를 식별할 수 있음을 입증하였고, 비동형 그래프에 대해 에너지가 구분되지 않을 경우 매우 평탄한 에너지 표면이 발생하는 놀라운 분리 현상도 드러내었다.

ABSTRACT

Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) is a hybrid classical-quantum algorithm to approximately solve NP optimization problems such as MAX-CUT. We describe a new application area of QAOA circuits: graph structure discovery. We omit the time-consuming parameter-optimization phase and utilize the dependence of QAOA energy on the graph structure for randomly or judiciously chosen parameters to learn about graphs. In the first part, Following up on Wang et. al. and Brandao et. al. we give explicit formulas. We show that the layer-one QAOA energy for the MAX-CUT problem for three regular graphs carries exactly the information: {\em (# of vertices, # of triangles)}. We have calculated our explicit formulas differently from \cite{wang2018quantum}, by developing the notion of the $U$ polynomial of a graph $G$. Many of our discoveries can be interpreted as computing $U(G)$ under various restrictions. The most basic question when comparing the structure of two graphs is if they are isomorphic or not. We find that the QAOA energies separate all non-isomorphic three-regular graphs up to size 18, all strongly regular graphs up to size 26 and the Praust and the smallest Miyazaki examples. We observe that the QAOA energy values can be also used as a proxy to how much graphs differ. Unfortunately, we have also found a sequence of non-isomorphic pairs of graphs, for which the energy gap seems to shrink at an exponential rate as the size grows. Our negative findings however come with a surprise: if the QAOA energies do not measurably separate between two graphs, then both of their energy landscapes must be extremely flat (indistinguishable from constant), already when the number of QAOA layers is intermediately large. This holds due to a remarkable uncoupling phenomenon that we have only deduced from computer simulation.

연구 동기 및 목표

• 매개변수 최적화 없이 QAOA 에너지가 그래프의 구조적 특성을 드러낼 수 있는지 탐색하기.
• 특히 3-정규 및 강한 정규 그래프의 맥락에서 QAOA 에너지가 비동형 그래프를 어느 정도 식별할 수 있는지 조사하기.
• U다항식과 고차 밀도 행렬을 사용한 이론적 프레임워크를 개발하여 QAOA 에너지를 계산하고 분석하기.
• 비동형 그래프에 대해 QAOA 에너지가 구분되지 않을 경우의 의미를 이해하기, 특히 에너지 표면의 평탄성과 관련하여.

제안 방법

• 논문은 레이어-1 QAOA 에너지를 명시적으로 계산할 수 있는 새로운 도구로 그래프의 U다항식을 도입하여, 최적화 없이도 구조 분석이 가능하도록 한다.
• 밀도 행렬(일차 및 이차)에 대한 재귀 관계를 설정하여 QAOA 상태의 진동을 계산하며, 행렬 요소가 비트스트링의 동일한 컷 값에만 의존한다는 사실을 활용한다.
• 각도 매개변수에 대한 통합을 통해 선택 규칙를 유도한다: 동일한 컷 값을 가진 항들만 기여하며, 이는 에너지 기여의 분리(디커플링)를 이끈다.
• 다양한 매개변수 조합에 대해 평균 에너지와 표준편차를 계산하기 위해 QAOA 동역학을 활용하여 그래프 간의 차이에 대한 통계적 분석을 가능하게 한다.
• QAOA 에너지 계산에서 큐비트 쌍 간의 상관관계가 차지하는 역할을 연구하기 위해 고차 밀도 행렬으로의 분석을 확장한다.
• 이론적 유도는 광범위한 수치 시뮬레이션과 함께 이루어지며, 특히 비동형 그래프 쌍에서의 에너지 표면 행동을 관찰한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의 또는 고정된 매개변수로 계산된 QAOA 에너지는 3-정규 그래프의 정점 수와 삼각형 수와 같은 구조적 불변량을 드러낼 수 있는가?
• RQ2 QAOA 에너지는 비동형 3-정규 그래프와 강한 정규 그래프를 어느 정도까지 식별할 수 있는가?
• RQ3 QAOA 에너지가 두 비동형 그래프를 분리하지 못할 경우, 에너지 표면은 어떻게 되며, 이는 기본 양자 상태 진동에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ4 고차 밀도 행렬은 QAOA 에너지의 계산과 해석에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 비동형 그래프 간에 QAOA 에너지가 구분되지 않을 때, 이들이 극도로 평탄한 에너지 표면과 관련된 보편적 메커니즘이 존재하는가?

주요 결과

• 3-정규 그래프의 경우, 레이어-1 QAOA 에너지는 U다항식 형식을 통해 정확히 정점 수와 삼각형 수를 포함한다.
• QAOA 에너지는 크기 18 이하의 모든 비동형 3-정규 그래프와 크기 26 이하의 모든 강한 정규 그래프를 성공적으로 분리한다.
• 논문은 QAOA 에너지 갭이 크기 증가에 따라 지수적으로 감소하는 비동형 그래프 쌍의 시퀀스를 규명하였으며, 이는 에너지 기반 식별성에 대한 근본적 한계를 시사한다.
• QAOA 에너지가 두 비동형 그래프를 구분하지 못할 경우, 그들의 에너지 표면은 중간 레이어 수준부터 매우 평탄해지며, 일정한 값과 구분되지 않을 정도로 평탄하다.
• 이 평탄함은 시뮬레이션을 통해 유도된 놀라운 분리 현상에 기인하며, 양자 상관관계가 그래프 구조를 따라 분리됨을 의미한다.
• 이 연구는 QAOA 동역학과 고차 밀도 행렬이 최적화 없이도 에너지 행동을 통해 그래프 구조 분석에 강력한 도구가 될 수 있음을 드러낸다.