[논문 리뷰] A Quantum Approximate Optimization Algorithm Applied to a Bounded Occurrence Constraint Problem

Edward Farhi, Jeffrey Goldstone외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 18.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 4인용 수 128

한 줄 요약

이 논문은 각 변수가 최대 $D+1$개의 방정식에 등장하는 유한 발생 최대 E3LIN2 문제에 대해 수준 $p=1$의 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA)을 적용한다. 양자 알고리즘이 평균적으로 $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{101D^{1/2}\ln D}\right)m$개의 방정식을 만족시키며, 이는 $\left(\frac{1}{2} + \frac{\text{상수}}{D^{1/2}}\right)$에 비해 우수한 성능을 보이며, 일반적인 랜덤 인스턴스에서는 $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{3e}\,D^{1/2}}\right)m$개의 방정식을 만족시킨다.

ABSTRACT

We apply our recent Quantum Approximate Optimization Algorithm to the combinatorial problem of bounded occurrence Max E3LIN2. The input is a set of linear equations each of which contains exactly three boolean variables and each equation says that the sum of the variables mod 2 is 0 or is 1. Every variable is in no more than D equations. A random string will satisfy 1/2 of the equations. We show that the level one QAOA will efficiently produce a string that satisfies $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{101 D^{1/2}\, l n\, D} ight)$ times the number of equations. A recent classical algorithm achieved $\left(\frac{1}{2} + \frac{constant}{D^{1/2}} ight)$. We also show that in the typical case the quantum computer will output a string that satisfies $\left(\frac{1}{2}+ \frac{1}{2\sqrt{3e}\, D^{1/2}} ight)$ times the number of equations.

연구 동기 및 목표

• 유한 변수 발생 조건 하에서 수준 $p=1$의 QAOA가 최대 E3LIN2 문제에서 성능을 분석하는 것.
• 유한 발생 제약 조건 하에서 고전 알고리즘에 비해 양자 알고리즘이 최대 E3LIN2 해를 근사하는 데서 양자 우위를 확립하는 것.
• 양자 상태 준비 및 측정을 통해 만족된 방정식 수의 기대값에 하한을 도출하는 것.
• 특히 $D^{-1/2}$에 의존하는 고전 근사 bound와의 비교를 통한 양자 성능 평가.

제안 방법

• 고정된 $\beta = \pi/4$와 최적화된 $\gamma$를 사용하여 QAOA를 적용하여 양자 상태 $|\gamma, \beta\rangle = e^{-i\beta B}e^{-i\gamma C}|s\rangle$를 준비한다. 여기서 $|s\rangle$는 균일 초위상 상태이다.
• 목적 함수 $C(z)$는 계산 기저에서 대각 행렬로 표현되며, 각 절에서 $\frac{1}{2}(1 \pm Z_a Z_b Z_c)$의 항이 기여한다.
• 만족된 방정식 수의 평균을 추정하기 위해 기대값 $\langle -\gamma, \pi/4 | C | -\gamma, \pi/4 \rangle$을 계산한다.
• 분산 분석을 통해 절 간 상관관계를 분석하여, 오직 겹치는 절(공통 변수를 가진 절)만이 변동성에 유의미하게 기여함을 보였다.
• 값 $d_{abc}$가 무작위로 $\pm1$인 변수이며, 통계적 독립성을 활용하여 기대값의 분산을 경계함으로써 분석을 진행한다.
• 기대값과 일반적인 경우(방정식 목표가 등비율로 0 또는 1로 할당된 경우)에서 성능을 평가하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 QAOA 수준 $p=1$이 유한 발생 최대 E3LIN2 문제에서 고전 알고리즘보다 더 나은 근사 비율을 달성할 수 있는가?
• RQ2 각 변수가 최대 $D+1$개의 방정식에 등장할 때, QAOA가 기대로 만족하는 방정식의 비율은 얼마인가?
• RQ3 양자 알고리즘의 성능는 $\left(\frac{1}{2} + \frac{\text{상수}}{D^{1/2}}\right)$ 고전 bound와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 방정식 목표가 무작위로 할당된 일반적인 경우에서 QAOA는 랜덤 추측을 초월하는가?
• RQ5 최적화된 $\gamma$와 $\beta$ 또는 $p$의 증가로 성능 향상을 도모할 수 있는가?

주요 결과

• QAOA 수준 $p=1$은 기대적으로 $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{101D^{1/2}\ln D}\right)m$개의 방정식을 만족시키며, 여기서 $m$은 총 방정식 수이다.
• 50/50 비율로 목표가 할당된 일반적인 랜덤 인스턴스에서는 높은 확률로 $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{3e}\,D^{1/2}}\right)m$개의 방정식을 만족시킨다.
• 성능 향상은 $\sim D^{-1/2}\ln^{-1}D$ 비율로 스케일링되며, 고전의 $\sim D^{-1/2}$ bound에 비해 상수 요소에서 향상된다.
• 출력의 분산은 $\mathcal{O}(mD^2)$로 경계되며, 이는 큰 $m$에서 평균 주변의 농도를 보장한다.
• 분석 결과, 오직 겹치는 절(최소한 하나의 변수를 공유하는 절)만이 분산에 유의미하게 기여하며, 상관관계가 있는 항의 수가 제한됨을 보여준다.
• 즉, 유한 발생 제약 조건 하에서 최대 E3LIN2 문제의 근사 비율에서 조차 $p=1$ 수준에서도 양자 우위를 확립한다.