[논문 리뷰] When a Stochastic Exponential is a True Martingale. Extension of a Method of Bene^s

Fima C. Klebaner, R. Liptser|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 베네시의 방법을 확장하여 국소 martingale의 확률적 지수가 진정한 martingale가 되는 충분조건을, 드리프트 및 볼atility 계수에 선형 성장 조건을 적용하여 도출한다. 이 접근법은 조각별 근사 기법을 피하고 노비코프 및 카자마키 조건을 초월하여 점프 과정, 폭발적인 마코프 과정, 비마코프 성질을 가진 semimartingale에 대해서도 효과적으로 작용한다.

ABSTRACT

Let $\mathfrak{z}$ be a stochastic exponential, i.e., $\mathfrak{z}_t=1+\int_0^t\mathfrak{z}_{s-}dM_s$, of a local martingale $M$ with jumps $ riangle M_t>-1$. Then $\mathfrak{z}$ is a nonnegative local martingale with $\E\mathfrak{z}_t\le 1$. If $\E\mathfrak{z}_T= 1$, then $\mathfrak{z}$ is a martingale on the time interval $[0,T]$. Martingale property plays an important role in many applications. It is therefore of interest to give natural and easy verifiable conditions for the martingale property. In this paper, the property $\E\mathfrak{z}_{_T}=1$ is verified with the so-called linear growth conditions involved in the definition of parameters of $M$, proposed by Girsanov \cite{Girs}. These conditions generalize the Beneŝ idea, \cite{Benes}, and avoid the technology of piece-wise approximation. These conditions are applicable even if Novikov, \cite{Novikov}, and Kazamaki, \cite{Kaz}, conditions fail. They are effective for Markov processes that explode, Markov processes with jumps and also non Markov processes. Our approach is different to recently published papers \cite{CFY} and \cite{MiUr}.

연구 동기 및 목표

• 국소 martingale의 확률적 지수가 진정한 martingale가 되는 것을 보장하는 검증 가능하고 점근적이지 않은 조건을 제공하는 것.
• 연속적인 국소 martingale를 초월하여 점프와 폭발적 행동을 포함하는 과정으로 베네시의 원래 방법을 일반화하는 것.
• 이전 접근법에서 흔히 사용되는 복잡한 근사나 조각별 구성 기법에 의존하지 않는 것.
• 클래식한 기준(노비코프 또는 카자마키 조건)이 실패하는 경우, 특히 비마코프성 또는 점프-디퓨전 설정에서 적용 가능한 조건을 수립하는 것.
• 필터링, 측도 변화, 확률적 해석학 응용 분야에서 기존의 martingale 검증 기법을 통합하고 확장하는 것.

제안 방법

• 기초 semimartingale의 드리프트 및 볼atility 계수에 선형 성장 조건을 제안하며, 기르산프의 프레임워크를 영감으로 삼는다.
• 도렌스-다드 지수 공식을 적용하여 확률적 지수를 연속적인 지수 국소 martingale와 점프 보정 항의 곱으로 표현한다.
• 정지 시간 $\tau_n$ 을 통한 국소화 기법을 사용하여 국소 martingale를 다루고, 제곱-integrability를 보장한다.
• 보완부록 A에 제시된 일반화된 기르산프 정리를 활용하여 새로운 측도 $\mathsf{Q}^n$ 하에서 라돈-니코디움 미분을 유도하며, 원래 semimartingale를 $\mathsf{Q}^n$ 하에서 국소 martingale로 변환한다.
• 균일 적으로 적분 가능함을 확인하고, 베네시 유형의 선형 성장 경계와 함께 히츠다 조건을 적용하여 $\mathsf{E}[\mathfrak{z}_T] = 1$ 를 확립한다.
• 결과적으로 $\widetilde{\mathcal{M}}^{c,n}$ 과 $\widetilde{\mathcal{M}}^{d,n}$ 가 명시적으로 계산된 예측 가능 이차변동을 갖는 $\mathsf{Q}^n$-martingale임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 확률적 지수 $\mathfrak{z}_t = \mathcal{E}(M)_t$ 가 $[0,T]$ 에서 진정한 martingale가 되는가?
• RQ2 베네시의 방법은 연속적인 국소 martingale를 초월하여 점프와 폭발적 행동을 갖는 과정으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 노비코프 및 카자마키 조건이 실패할 경우, $\mathsf{E}[\mathfrak{z}_T] = 1$ 을 어떻게 검증할 수 있는가?
• RQ4 semimartingale 분해의 계수에 선형 성장 조건을 적용하면 조각별 근사 없이도 martingale 성질을 보장할 수 있는가?
• RQ5 일반화된 기르산프 정리는 측도를 변환하여 martingale 성질을 검증하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 드리프트 및 볼atility 계수가 선형 성장 조건을 만족할 경우 $\mathsf{E}[\mathfrak{z}_T] = 1$ 이 성립함을 입증하며, 이는 $\mathfrak{z}$ 가 진정한 martingale임을 보장한다.
• 이 방법은 클래식한 조건(노비코프 또는 카자마키 조건)이 실패하는 비마코프성, 점프-디퓨전, 폭발적인 마코프 과정에 적용 가능하다.
• 이 접근법은 조각별 근사 기법을 피하고 국소화 및 일반화된 기르산프 정리를 통한 직접 검증에 의존한다.
• 노비코프 및 카자마키 조건이 실패하는 예시 $M^c_t = 2\int_0^t B_s dB_s$ 에 대해서도 선형 성장 조건이 여전히 $\mathsf{E}[\mathfrak{z}_T] = 1$ 을 보장한다.
• 보완부록 A의 일반화된 기르산프 정리는 변환된 과정 $\widetilde{\mathcal{M}}^{c,n}$ 과 $\widetilde{\mathcal{M}}^{d,n}$ 가 명시적으로 계산된 이차변동을 갖는 $\mathsf{Q}^n$-martingale임을 확인한다.
• 이 방법은 다양한 종류의 semimartingale에 대해 강력하고 적용 가능하며, 비연속 경로와 균일하게 유계가 아닌 이차변동을 갖는 과정을 포함한다.