[논문 리뷰] Whittaker and Bessel functors for GSp_4

Sergey Lysenko|arXiv (Cornell University)|2003. 10. 22.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 기하 Langlands 프로그램에서 심플렉틱 군 GSp₄에 대한 Whittaker 및 Bessel 함자를 도입하며, GLₙ에 대한 Gaitsgory의 접근을 일반화한다. 기하 Waldspurger 카테고리의 정의와 Waldspurger 모델에 대한 다중성 일원성 결과를 증명함으로써, GSp₄-_bundle의 모듈리 스택에서의 초-정점층과 그들의 히드 작용을 연구하기 위한 기초 도구를 확립한다.

ABSTRACT

One of the important technical tools in Gaitsgory's proof of the Vanishing Conjecture appearing in the geometric Langlands correspondence ([3]) is the theory of Whittaker functors for GL_n. We define Whittaker functors for GSp_4 and study their properties. In a sense, these functors correspond to the maximal parabolic subgroup of GSp_4, whose unipotent radical is not commutative. We also study similar functors corresponding to the Siegel parabolic subgroup of GSp_4, they are related with Bessel models for GSp_4 and Waldspurger models for GL_2. We define the Waldspurger category, which is a geometric counterpart of the Waldspurger module over the Hecke algebra of GL_2. We prove a geometric version of the multiplicity one result for Waldspurger models.

연구 동기 및 목표

• 최대 포물선 부분군의 유니포텐트 라디칼이 비가환인 GSp₄로 GLₙ의 Whittaker 함자 이론을 확장하기.
• GSp₄의 Siegel 포물선 부분군과 관련된 Bessel 함자를 정의하고, 이들을 GL₂의 Waldspurger 모델과 연결하기.
• GL₂의 히드 대칭 대수 위의 Waldspurger 모듈의 기하적 대응으로서 Waldspurger 카테고리를 도입하기.
• 클래식한 자동형 양식에 대응하는 기하적 다중성 일원성 결과를 Waldspurger 모델에 대해 확립하기.
• GSp₄ 기하 Langlands 프로그램에서 초-정점층과 정점층에 대한 히드 작용을 이해하기 위한 기초를 마련하기.

제안 방법

• 비가환 유니포텐트 라디칼을 가진 최대 포물선 부분군을 사용하여 GSp₄에 대한 Whittaker 함자를 구성함으로써, GLₙ의 경우를 일반화한다.
• GSp₄-_bundle의 스택 위의 층의 유도 범주에 대한 전순위 삼각형 부분범주로서 Waldspurger 카테고리를 정의한다.
• 벡터 번들의 작용을 이용한 스킴 위의 등변 범주에서의 푸리에 변환 기법을 적용하여, 서로 다른 군의 구조를 가진 군의 구조 간의 층을 연결한다.
• 비국소 유한성도 고려한 인도-층의 맥락에서 Casselman–Shalika 공식을 사용하여 Whittaker 함수형을 묘사한다.
• Verdier 쌍대성과 기본 변화를 적용하여, 푸리에 변환 함자가 t-정확하고 쌍대성과 캐릭터 역전까지 교환 가능하다는 것을 보인다.
• Whittaker 함자의 핵을 분석하고, 특정 유니포텐트 부분군 위에서의 적분의 소멸과 연관시킴으로써 기하적 다중성 일원성 결과를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환 유니포텐트 라디칼을 가진 최대 포물선 부분군을 지닌 GSp₄로 Whittaker 함자를 GLₙ에서 일반화할 수 있는가?
• RQ2 GL₂의 Waldspurger 모듈에 대한 기하적 대응은 무엇이며, 이는 GSp₄의 Bessel 모델과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 히드 함자들은 GSp₄-_bundle의 유도 범주에 속한 초-정점층 부분범주에 어떻게 작용하는가?
• RQ4 클래식한 자동형 형태에 대응하는 기하적 다중성 일원성 결과를 Waldspurger 모델에 대해 확립할 수 있는가?
• RQ5 GSp₄ 기하 Langlands 대응에서 초-정점층 카테고리의 직교 보완은 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 GSp₄-_bundle의 스택 위의 층의 유도 범주에 속한 전순위 삼각형 부분범주로서 기하 Waldspurger 카테고리를 정의하며, 이는 히드 함자에 의해 보존된다.
• Waldspurger 모델에 대한 기하적 다중성 일원성 결과를 증명하여, 초-정점층 위의 Whittaker 함수형 공간이 1차원임을 보였다.
• 초-정점층 카테고리 D_hcusp(Bun_G)는 모든 Whittaker 함자의 핵의 교차로 특징지어지며, 고전적 초-정점자기형 양식의 개념을 일반화한다.
• 비가환 유니포텐트 라디칼에도 불구하고, GSp₄의 Whittaker 함자는 초-정점층 카테고리에서 단사임을 보였으며, 이는 GLₙ의 경우와 유사하다.
• Casselman–Shalika 공식이 기하적 맥락에 적응되었으며, Waldspurger 스택 위에서 인도 대상 K_E가 국소 유한하지 않기 때문에 비자명한 분모가 포함된다.
• 푸리에 변환 함자는 D(Y)와 D^W(E^* ×_Z Y) 사이의 동치로 확립되었으며, 이의 준역은 사영에 의한 오버프로젝션을 통한 푸시포워드로 주어지며, 이 동치는 Verdier 쌍대성과 캐릭터 역전까지 교환된다.