[논문 리뷰] Width-Independence Beyond Linear Objectives: Distributed Fair Packing and Covering Algorithms.

Jelena Diakonikolas, Maryam Fazel외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 07.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 α-정공 packing 및 covering 문제에 대해 처음으로 폭에 독립적이고 거의 선형 시간 분산 알고리즘을 제안하며, 선형 프로그래밍(α=0)의 최신 기준에 맞는 향상된 수렴 속도를 달성한다. 근사 이중성 갭 프레임워크를 활용하여 분석을 단순화하고, 공정한 작업 할당을 위한 새로운 α-정공 covering 공식화를 제안한다.

ABSTRACT

Fair allocation of resources has deep roots in early philosophy, and has been broadly studied in political science, economic theory, operations research, and networking. Over the past decades, an axiomatic approach to fair resource allocation has led to the general acceptance of a class of $\alpha$-fair utility functions parametrized by a single inequality aversion parameter $\alpha \in [0, \infty]$. In theoretical computer science, the most well-studied examples are linear utilities ($\alpha = 0$), proportionally fair or Nash utilities ($\alpha = 1$), and max-min fair utilities ($\alpha ightarrow \infty$). In this work, we consider general $\alpha$-fair resource allocation problems, defined as the maximization of $\alpha$-fair utility functions under packing constraints. We give improved distributed algorithms for constructing $\epsilon$-approximate solutions to such problems. Our algorithms are width-independent, that is, their running times depend only poly-logarithmically on the largest entry of the constraint matrix, and closely match the state-of-the-art guarantees for distributed algorithms for packing linear programs -- the case $\alpha = 0.$ Previously known width-independent algorithms for $\alpha$-fair resource allocation have convergence times with much worse dependence on $\epsilon$ and $\alpha$. Our analysis leverages the Approximate Duality Gap framework of Diakonikolas and Orecchia to obtain better algorithms with a more streamlined analysis. Finally, we introduce a natural counterpart of $\alpha$-fairness for minimization problems and motivate its usage in the context of fair task allocation. This generalization yields $\alpha$-fair covering problems, for which we provide the first width-independent nearly-linear-time approximate solvers by reducing their analysis to the $\alpha < 1$ case of the $\alpha$-fair packing problem.

연구 동기 및 목표

• 패킹 제약 조건 하에서 폭에 독립적인 분산 알고리즘을 개발하여 α-정공 자원 할당을 수행한다.
• 선형 프로그래밍(α=0)의 최신 수준의 수렴 보장을 일반적인 α-정공 유틸리티 함수로 확장한다.
• 최소화 문제에 대한 α-정공성의 자연스럽고 유용한 일반화를 도입하고, 이를 효율적으로 해결한다.
• α-정공 covering 문제에 대해 처음으로 거의 선형 시간 근사 해법을 개발한다. 이를 위해 α<1인 α-정공 packing의 경우로 문제를 환원한다.
• 근사 이중성 갭 프레임워크를 활용하여 α-정공 알고리즘의 분석을 단순화한다.

제안 방법

• Diakonikolas와 Orecchia의 근사 이중성 갭 프레임워크를 변형하여 패킹 제약 조건 하에서 α-정공 유틸리티 최대화 문제를 분석한다.
• 제약 행렬의 최대 원소에 대해 다항 로그적 의존도를 가지는 분산 알고리즘을 설계하여 ϵ-근사 해를 달성한다.
• α-정공 covering 문제의 분석을 α-정공 packing의 α<1 경우로 환원하여, 패킹 알고리즘의 수렴 보장을 재사용한다.
• 공정한 작업 할당을 고려하여, α-정공 packing의 이중 대응으로서 새로운 α-정공 covering 목표 함수를 도입한다.
• 적응형 단계 크기를 가진 기울기 유사 업데이트 규칙을 사용하여 폭에 독립적인 알고리즘을 확보한다.
• 수렴 시간을 유한하게 제한하기 위해 잠재 함수 방법을 사용하여 ϵ과 α에 대해 거의 최적의 의존도를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 폭에 독립적인 분산 알고리즘을 설계하여 α-정공 패킹 문제의 수렴 속도를 선형 프로그래밍(α=0)의 수렴 속도와 동일하게 만들 수 있는가?
• RQ2 근사 이중성 갭 프레임워크는 α=0를 초월하여 일반적인 α-정공 유틸리티 함수를 다룰 수 있도록 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ3 최소화 문제에 대한 α-정공성의 자연스럽고도 유용한 일반화는 무엇이며, 이를 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ4 α-정공 covering 문제를 α-정공 패킹 문제로의 환원을 통해 거의 선형 시간 내에 해결할 수 있는가?
• RQ5 폭에 독립적인 설정에서 알고리즘의 수렴 속도가 ϵ과 α에 대해 최적의 의존도를 가지는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 제약 행렬의 최대 원소에 대해 다항 로그적 의존도를 가지며, 폭에 독립적인 수렴을 달성하여 선형 프로그래밍(α=0)의 최고 수준의 기준과 일치한다.
• 이전의 폭에 독립적인 α-정공 패킹 알고리즘에 비해 ϵ과 α에 대한 수렴 속도 의존도가 크게 향상되었다.
• 근사 이중성 갭 프레임워크를 통해 이전의 접근 방식보다 더 단순하고 일반적인 분석이 가능해졌다.
• 논문은 분산 시스템에서 공정한 작업 할당을 모델링할 수 있는 원칙적인 방법을 제공하는 첫 번째 α-정공 covering 문제 공식화를 도입한다.
• α-정공 패킹의 α<1 경우로의 환원을 통해, α-정공 covering 문제에 대해 처음으로 거의 선형 시간 폭에 독립적인 해법을 개발하였다.
• 알고리즘은 입력 크기의 거의 선형 시간 내에 ϵ-근사 해를 달성하며, 문제의 폭에 대해 다항 로그적 의존도를 가지는 것으로 확인되었다.