[논문 리뷰] Wilson loops in supersymmetric Chern-Simons-matter theories and duality

Anton Kapustin, Brian Willett|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 08.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 15인용 수 33

한 줄 요약

이 논문은 3차원 ${\mathcal{N}}=2$ 초대칭 초전도체-물질 이론에서 Giveon-Kutasov dualit에 따른 BPS 윌슨 루프의 매핑을 제안한다. 윌슨 루프의 양자 대수학을 분석함으로써, 양자 관계로 인해 유한 차원이 된다는 것을 보이며, 제안된 dualit 매핑이 원형 윌슨 루프의 정규화된 기대값을 유지하는지 검증한다. 또한, 등방성 양자 K-이론을 통해 물질과 초전도체 항항을 포함한 Witten의 버린드 대수와 양자 코homology 사이의 연결을 일반화한다.

ABSTRACT

We study the algebra of BPS Wilson loops in 3d gauge theories with N=2 supersymmetry and Chern-Simons terms. We argue that new relations appear on the quantum level, and that in many cases this makes the algebra finite-dimensional. We use our results to propose the mapping of Wilson loops under Seiberg-like dualities and verify that the proposed map agrees with the exact results for expectation values of circular Wilson loops. In some cases we also relate the algebra of Wilson loops to the equivariant quantum K-ring of certain quasi projective varieties. This generalizes the connection between the Verlinde algebra and the quantum cohomology of the Grassmannian found by Witten.

연구 동기 및 목표

• 3D ${\mathcal{N}}=2$ 초대칭 초전도체-물질 이론에서 윌슨 루프 연산자가 Giveon-Kutasov dualit에 어떻게 변환되는지 이해하는 것.
• 고전적 표현 이론을 넘어서는 양자 관계로 인해 유한 차원이 되는 BPS 윌슨 루프의 대수를 규명하는 것.
• 전기 이론과 자성 이론의 윌슨 루프 대수 간의 동형사상 식별을 통해 이론 간의 dualit 매핑을 수립하는 것.
• 제안된 dualit 매핑이 원형 윌슨 루프의 정규화된 기대값을 유지하는지 검증하여 그 정확성에 대한 강력한 증거를 제공하는 것.
• 등방성 양자 K-이론을 통해 물질과 초전도체 항항을 포함한 Witten의 버린드 대수와 양자 코homology 사이의 연결을 일반화하는 것.

제안 방법

• 3D ${\mathcal{N}}=2$ 초전도체-물질 이론에서 BPS 윌슨 루프의 대수를 구성하고, 고전적 제약 조건을 초월하는 양자 관계를 식별하여 표현을 잘라내는 것.
• Kapustin(2009)에서 유도된 윌슨 루프 기대값에 대한 정확한 공식을 사용하여 dualit 하에서 정규화된 진공 기대값을 계산하고 비교하는 것.
• 전기 이론과 자성 이론의 윌슨 루프 대수 간의 자연스러운 동형사상을 식별하여 dualit 매핑을 정의하는 것.
• 동형사상이 원형 윌슨 루프의 정규화된 기대값을 유지하는지 검증하여 정확한 결과와의 일致를 확인하는 것.
• 윌슨 루프 대수를 특정 쿼드라틱 다양체 위의 벡터 번들의 등방성 양자 K-환과 연결하여, Witten의 버린드-양자 코hom로지 대응을 일반화하는 것.
• 원을 감싸는 compactification을 통해 3D 윌슨 루프 대수를 2차원 효과 이론의 왜곡된 편향 레지스터와 연결하여, 양자 K-이론 예측을 계산할 수 있도록 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3D ${\mathcal{N}}=2$ 초전도체-물질 이론에서 BPS 윌슨 루프는 Giveon-Kutasov dualit에 어떻게 변환되는가?
• RQ2 고전적 표현 이론에 존재하지 않는 윌슨 루프 대수에서 나타나는 양자 관계는 무엇인가?
• RQ3 윌슨 루프 대수의 구조에서 전기 이론과 자성 이론 간의 dualit 매핑을 체계적으로 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 물질과 초전도체 항항이 존재할 경우 윌슨 루프 대수는 버린드 대수와 그 양자 코homology와의 관계를 얼마나 일반화하는가?
• RQ5 윌슨 루프 대수를 사용하여 기존에 알려지지 않은, 그라스만이안 위의 벡터 번들의 등방성 양자 코hom로지를 예측할 수 있는가?

주요 결과

• 3D ${\mathcal{N}}=2$ 초전도체-물질 이론에서 BPS 윌슨 루프의 대수는 양자 관계로 인해 유한 차원이 된다. 예를 들어, $k=3$, $N_f=1$ 인 $U(2)$ 이론에서 $\yng(3) = -\yng(2) + q$와 같은 관계가 성립하며, 여기서 $q = e^{2\pi i \zeta}$이다.
• 순수 초전도체 항항의 경우($N_f=0$), 윌슨 루프 대수는 $2\times 2$ 상자에 맞는 양의 다이어그램으로 표현을 잘라내며, 양자 관계 $\yng(3) = 0$을 만족한다. 이는 레벨-랭크 dualit와 일致한다.
• dualit 매핑은 레벨-랭크 dualit를 일반화하며, 청색 다이어그램을 전치하고 $q$ 및 $r = e^{2\pi i m}$을 포함하는 추가 항을 추가한다. $k=N_f=2$ 이론에서 질량 변형이 존재할 경우 이를 확인할 수 있다.
• 제안된 dualit 매핑에 의해 연결된 윌슨 루프의 정규화된 기대값은 알려진 정확한 결과와 정확히 일치한다. 이는 매핑의 정확성에 대한 강력한 증거를 제공한다.
• 윌슨 루프 대수는 특정 그라스만이안 위의 벡터 번들의 등방성 양자 K-환과 동형이다. 이는 Witten의 버린드 대수와 양자 코hom로지 대응을 일반화한다.
• dualit는 동일한 그라스만이안 위의 두 자연스러운 번들의 등방성 양자 코hom로지 환 간의 동형사상을 암시하며, 이는 이전에 알려지지 않은 이러한 환에 대한 새로운 예측을 제공한다.