[논문 리뷰] Wilson's Theorem Modulo \(p^2\) Derived from Faulhaber Polynomials

Claire Levaillant|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 13.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 33인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 푸아르브의 다항식과 푸아르브 계수에 관한 최근 결과를 사용하여, $p^2$ 모듈로에서 윌슨의 정리에 대한 글레이셔의 공식에 대한 새로운 $p$-진 증명을 제시한다. 이는 선의 $(p-1)! \mod p^3$ 결과를 단순화하고, $p$의 더 높은 거듭제곱으로 일반화하며, $\left[\begin{array}{l}p\\ s\end{array}\right] \mod p^3$의 스틸링 수를 계산하고, 나누어진 베르누이 수의 합성에 대한 새로운 합동식을 도출한다.

ABSTRACT

First, we present a new proof of Glaisher's formula dating from 1900 and concerning Wilson's theorem modulo p^2. Our proof uses p-adic numbers and Faulhaber's formula for the sums of powers (17th century), as well as more recent results on Faulhaber's coefficients obtained by Gessel and Viennot. Second, by using our method, we find a simpler proof than Sun's proof regarding a formula for (p-1)! modulo p^3, and one that can be generalized to higher powers of p. Third, we can derive from our method a way to compute the Stirling numbers modulo p^3, thus improving Glaisher and Sun's own results from 120 years ago and 20 years ago respectively. Last, our method allows to find new congruences on convolution of divided Bernoulli numbers and convolutions of divided Bernoulli numbers with Bernoulli numbers.

연구 동기 및 목표

• 푸아르브 다항식과 $p$-진 해석을 사용하여, 1900년 글레이셔의 $(p-1)! \mod p^2$ 공식에 대한 새로운 $p$-진 증명을 제공한다.
• 동일한 방법을 사용하여 선의 2000년도 $(p-1)! \mod p^3$ 증명을 단순화하고, $p$의 더 높은 거듭제곱으로 일반화할 수 있도록 한다.
• 스틸링 수의 첫 번째 종류 $\left[\begin{array}{l}p\\ s\end{array}\right] \mod p^3$에 대한 명시적 공식을 도출하며, 글레이셔와 선의 이전 결과를 향상시킨다.
• 나누어진 베르누이 수의 합성에 대한 새로운 합동식과, 나누어진 베르누이 수와 베르누이 수의 합성에 대한 새로운 합동식을 수립한다.

제안 방법

• 거듭제곱의 합에 대한 푸아르브의 공식을 사용하며, 계수들이 베르누이 수와 관련된 $n$에 대한 다항식으로 표현된다.
• $p$-진 수 이론을 적용하여 $k=2,3,\dots$에 대해 $(p-1)!$의 구조를 $p^k$ 모듈로로 분석하고, $p$-진 전개를 활용한다.
• 푸아르브 계수에 관한 게셀과 비엔노의 최근 결과를 활용하여 거듭제곱의 합을 근의 대칭 함수와 연결한다.
• 뉴턴의 항등식을 사용하여 거듭제곱의 합을 기본 대칭 합과 연결하며, 이는 첫 번째 종류의 스틸링 수에 해당한다.
• 체 $\mathbb{F}_p[X]$에서 $X^{p-1} - 1$의 인수분해와 체 $\mathbb{Z}_p[X]$에서 $X^{p-1} + (p-1)!$의 유사성을 이용하여 합동식을 도출한다.
• 다중 조화 합과 그 $q$-아날로그에 대한 합동식을 유도하며, 이들을 $[p]_q^k$ 모듈로에서 행렬식과 이항계수와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 글레이셔의 $(p-1)! \mod p^2$ 공식은 $p$-진 방법과 푸아르브 다항식을 사용하여 재구성할 수 있는가?
• RQ2 선의 $(p-1)! \mod p^3$ 공식에 대한 더 단순하고 일반화 가능한 증명이 존재하는가?
• RQ3 이 방법은 $\left[\begin{array}{l}p\\ s\end{array}\right] \mod p^3$를 명시적으로 계산하는 데로 확장될 수 있는가?
• RQ4 이 접근법을 통해 나누어진 베르누이 수의 합성에 대해 새로운 합동식이 도출되는가?
• RQ5 이 결과들은 알려진 이항계수와 조화 합의 $q$-아날로그 합동식과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 푸아르브 다항식과 $p$-진 해석을 사용하여 글레이셔의 $(p-1)! \mod p^2$ 공식에 대한 새로운 $p$-진 증명이 확립되었다.
• 이 방법은 원래 증명보다 단순한 선의 $(p-1)! \mod p^3$ 결과를 도출하며, $p$의 더 높은 거듭제곱으로 자연스럽게 일반화된다.
• 논문은 $\left[\begin{array}{l}p\\ s\end{array}\right] \mod p^3$에 대한 명시적 공식을 도출하였으며, 글레이셔와 선의 이전의 한계를 향상시켰다.
• 나누어진 베르누이 수의 합성에 대한 새로운 합동식과, 나누어진 베르누이 수와 베르누이 수의 합성에 대한 새로운 합동식이 발견되었다.
• 이 방법은 조화 합의 $q$-아날로그와 이항계수 합동식과 연결되며, 딜처, 스트라우브 등이 이전에 확립한 결과를 확장한다.
• 이 접근법은 푸아르브 계수의 $p$-진 성질과 그 산술적 의미를 연구하기 위한 체계적인 프레임워크를 제공한다.